Comportamiento cualitativo de punto crítico en el origen

Question

Determinar el comportamiento cualitativo de el punto crítico en el origen para el siguiente sistema para todos los posibles valores de $a$:

$\dot{x} = -y + ax(x^2+y^2)$

$\dot{y} = x + ay(x^2+y^2)$

Mi pregunta: he intentado utilizar los Locales del Centro de Colector teorema para demostrar que el centro de colector: $x = h(y) = a_0 + a_1y+a_2y^2 +...$ $a_0, a_1, ...$ son parámetros a ser determinados y $h(0) = h'(0) = 0$, debe ser $0$. Para hacer esto, supongamos $h(y)\neq 0$$y\neq 0$. Ahora, reemplazamos $x$ $h(y)$ desde el sysem anterior, y a partir de la identidad: $\dot{x} = \dot{y}\ h'(y)$, se obtiene la siguiente ecuación para todos los valores de $a$:

$-y + a(a_0 + a_1y+ a_2y^2 + ...) (a_0^2+a_1^2y^2 + 2a_0a_1y+2a_0a_2y^2 +...+y^2) = (a_1 + 2a_2y + 3a_3y^2 + ...)[a_0 + a_1y+ a_2y^2 + ... + ay(a_0^2 + a_1^2y^2 + 2a_0a_1y + 2a_0a_2y^2 + ... +y^2)]$

Desde $h(0) = h'(0) = 0$, podemos obtener al instante el $a_0 = a_1 = 0$. Pero entonces el $-y$ plazo en el lado izquierdo de la ecuación anterior es que nunca se cancela con nada, así que la ecuación, después de la coincidencia de los términos por los términos, no puede ser cierto para todos los $y\neq 0$. Por lo tanto $h(y)$ no existe en este caso.

Por lo tanto, $h(y) = 0$ es la única opción, lo que implica $x = 0$. Pero si este es el caso, entonces la $0 = -y$, lo $y = 0$. Así, el punto crítico es un punto de silla? Es esta una conclusión correcta?

Answer 1

Sé que este no es el método que se va, pero no me pude resistir ofrece otra posible solución.

Según el artículo de Wikipedia sobre la Estabilidad de Lyapunov:

De Lyapunov, en su estado original de 1892 trabajo, propuesto dos métodos para la demostración de la estabilidad. El primer método desarrollado la solución en una serie que fue luego demostró convergentes dentro de los límites. El segundo el método, que es casi universalmente utilizado hoy en día, se hace uso de una La función de Lyapunov $V(x)$ que tiene una analogía con el potencial de función de la dinámica clásica. Se introduce de la siguiente manera para un sistema de $\dot{x} = f(x)$ tener un punto de equilibrio en x=0. Considere la posibilidad de una función $V(x)$ : $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ de tal forma que:

• $V(x)=0$ si y sólo si $x=0$
• $V(x)>0$ si y sólo si $x \ne 0$
• $\dot{V}(x) = \frac{d}{dt}V(x) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x) \le 0$ para todos los valores de $x$ (negativo semidefinite). Nota: para la estabilidad asintótica, $\dot{V}(x)<0$ $x > \ne 0$ se requiere (negativo definitivo).

En el ejemplo, un candidato para una función de Lyapunov es $V(x,y) = x^2 +y^2$.

Nota: el método en el artículo, tal como está, le dará el comportamiento de $a=0$$a<0$. Aquí es el caso adicionales:

Supongamos $X$ $C^{1}$ campo de vectores en un conjunto abierto $\Omega \subconjunto > \mathbb {R}^n$, $0 \en \Omega$ is a critical point of $X$, and $V : > \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ es una función continua tal que

• $V (0) = 0$
• existe $\Omega_{-} \subset \Omega$ tal que $\Omega_{-} \cap B_{\delta}(0)= \emptyset$ cualquier $\delta >0$, $V (x) < 0 \ \forall > x\in \Omega_{-}$, $V (x) = 0 \ \forall x\in \parcial \Omega_{-} \cap > B_{\epsilon} (0)$ for some $\epsilon >0$;
• $V$ es estrictamente decreciente en la parte de las órbitas de los que se quedan en $\Omega$.

A continuación, $0$ es inestable.

En el caso de $a>0$, vamos a $V(x,y) = -x^2 -y^2$ y usar el teorema anterior.