¿Puedo utilizar la ley distributiva para infinitos conjuntos?

Question

Sea $X$ sea un conjunto no vacío. Una colección $S$ de subconjuntos de $X$ es llamado sembrar si cumple las siguientes propiedades:

1. El conjunto vacío pertenece a S; es decir $\emptyset \in S$ .
2. Si $A,B \in S$ Entonces $A \cap B \in S$ Eso es, $S$ es cerrado bajo intersecciones finitas.
3. La diferencia de conjuntos de dos conjuntos cualesquiera de $S$ c miembros de $S$ . Es decir, para cada $A, B \in S$ ; t $C_1, ...,C_n \in S$ (según $A$ y $B$ ) tal que $A\setminus B = \cup _{i=1}^n C_i$ y $C_i \cap C_j = \emptyset$ si $i\ne j$ .

Ahora, dejemos que $S$ sea un sembrado de subconjuntos de $X$ . Un subconjunto $A$ de $X$ se denomina $\sigma$ -set con respecto a $S$ (o simplemente $\sigma$ -conjunto) si existe una secuencia disjunta $\{A_n\}$ de $S$ tal que $A = \cup_{n=1}^\infty A_n$ . Se puede demostrar fácilmente que para cada secuencia $\{A_n\}$ de $S$ el conjunto $A = \cup_{n=1}^\infty A_n$ es un $\sigma$ -set.

Me gustaría demostrar que las intersecciones finitas de $\sigma$ -sets es un $\sigma$ -set. Para ello, supongamos $A ,B$ son $\sigma$ -sets then $A = \cup_{i=1}^\infty C_i$ , $B = \cup_{j=1}^\infty D_j$ .

$$A\cap B=(\cup_{i=1}^\infty C_i)\cap (\cup_{j=1}^\infty D_j)$$

En este paso no sé ¿puedo utilizar la ley distributiva para infinitos conjuntos? ¿O la ley sólo es válida para conjuntos finitos?

Si sólo es válida para un número finito de conjuntos, ¿cómo puedo demostrar que las intersecciones finitas de $\sigma$ -sets es un $\sigma$ -¿Poner?

Gracias.

Answer 1

Sí, ambas leyes distributivas generalizan. (Sólo necesitas una de las dos, pero es útil conocer ambas.) El primer paso para verificar la generalización que quieres es comprobar que

$$\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cap D=\bigcup_{i\in I}(A_i\cap D)\;,\tag{1}$$

y para verificar su pareja querrás comprobar que

$$\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup D=\bigcap_{i\in I}(A_i\cup D)\;.\tag{2}$$

Ambas se verifican fácilmente mediante la búsqueda de elementos. Para $(1)$ si $x\in\left(\bigcup_{i\in I}A_k\right)\cap D$ entonces $x\in\bigcup_{i\in I}A_i$ y $x\in D$ . Desde $x\in\bigcup_{i\in I}A_i$ existe un $i_0\in I$ tal que $x\in A_{i_0}$ y, por lo tanto $x\in A_{i_0}\cap D\subseteq\bigcup_{i\in I}(A_i\cap D)$ . Por el contrario, si $x\in\bigcup_{i\in I}(A_i\cap D)$ entonces existe un $i_0\in I$ tal que $x\in A_{i_0}\cap D$ . Entonces $x\in A_{i_0}\subseteq\bigcup_{i\in I}A_i$ y $x\in D$ Así que $x\in\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cap D$ .

Para $(2)$ si $x\in\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup D$ entonces $x\in\bigcap_{i\in I}A_i$ ou $x\in D$ . Sea $i_0\in I$ ser arbitraria. Entonces $A_{i_0}\supseteq\bigcap_{i\in I}A_i$ Así que $x\in A_{i_0}$ ou $x\in D$ y por lo tanto $x\in A_{i_0}\cup D$ . Dado que esto es válido para cada $i_0\in I$ , $x\in\bigcap_{i\in I}(A_i\cup D)$ . Por el contrario, si $x\in\bigcap_{i\in I}(A_i\cup D)$ entonces $x\in A_i\cup D$ para cada $i\in I$ . Si $x\in D$ entonces, ciertamente $x\in\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup D$ . Si $x\notin D$ entonces debemos tener $x\in A_i$ para cada $i\in I$ en cuyo caso $x\in\bigcap_{i\in I}A_i\subseteq\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup D$ .

Dos aplicaciones de $(1)$ te dará la ley distributiva que deseas. Supongamos que $C=\bigcup_{i\in I}A_i$ y $D=\bigcup_{j\in J}B_j$ . Entonces

$$\begin{align*} C\cap D&=\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cap D\\ &=\bigcup_{i\in I}(A_i\cap D)\\ &=\bigcup_{i\in I}\left(A_i\cap\bigcup_{j\in J}B_j\right)\\ &=\bigcup_{i\in I}\left(\bigcup_{j\in J}(A_i\cap B_j)\right)\\ &=\bigcup_{\langle i,j\rangle\in I\times J}(A_i\cap B_j)\;. \end{align*}$$

En otras palabras, $C\cap D$ es la unión de todas las intersecciones posibles de la forma $A_i\cap B_j$ . En particular, si $I$ y $J$ son conjuntos de índices contables, $I\times J$ también es contable.

Del mismo modo, dos aplicaciones de $(2)$ te dará la otra ley distributiva general de este tipo. Esta vez supongamos que $C=\bigcap_{i\in I}A_i$ y $D=\bigcap_{j\in J}B_j$ . Entonces

$$\begin{align*} C\cup D&=\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup D\\ &=\bigcap_{i\in I}(A_i\cup D)\\ &=\bigcap_{i\in I}\left(A_i\cup\bigcap_{j\in J}B_j\right)\\ &=\bigcap_{i\in I}\left(\bigcap_{j\in J}(A_i\cup B_j)\right)\\ &=\bigcap_{\langle i,j\rangle\in I\times J}(A_i\cup B_j)\; \end{align*}$$

la intersección de todas las uniones posibles de la forma $A_i\cup B_j$ como $i$ y $j$ se ejecutan sobre sus respectivos conjuntos de índices.

Answer 2

Dos juegos $X$ y $Y$ son iguales exactamente cuando, para todo $x$ , $x \in X \iff x \in Y$ .

Ahora, toma $x \in (\cup_i C_i) \cap (\cup_j C_j)$ .

Esto significa precisamente que $x$ está en $\cup_i C_i$ y también está en $\cup_j D_j$ .

Una declaración del tipo $x \in \cup_k S_k$ significa precisamente "existe algún $k$ tal que $x \in S_k$ ". Así que tenemos de $x \in \cup_i C_i$ y $x \in \cup_j D_j$ que existe $i$ y $j$ tal que $x \in C_i$ y $x \in D_j$ .

O dicho de otro modo, existen $i$ y $j$ tal que $x \in C_i \cap D_j$ .

O en otras palabras, $x \in \cup_i \cup_j (C_i \cap D_j)$ .

Así que, sí, la ley distributiva funciona para familias infinitas, incluso incontables, de conjuntos.