Funciones infinitamente diferenciables: cómo probar que $e^ \frac {1}{x^2-1}$ tiene derivado de algún orden?

Question

Deje que $f: \mathbb {R} \to\mathbb {R}$ ser una función dada por

$$f(x)= \left\ { \begin {matrix} \exp\left ( \frac {1}{x^2-1} \right ) & \text {if }|x|<1 \\ 0 & \text {if }|x| \geq 1 \end {matrix} \right. $$

Me gustaría probar que $f \in C^ \infty $ es decir.., $f \in C^k$ para todos $k \in \mathbb {N}$ . Creo que se puede hacer por inducción en $k$ . Si $|x|>1$ el problema es trivial. En otros puntos, el caso base es el más simple y el único que puedo hacer. ¿Alguien puede ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Hazlo por $$f(x)= \begin {cases} \exp\left (- \frac 1 x \right )&x>0 \\ 0&x \leq 0 \end {cases}$$

Note que en todas partes pero en el origen, $f$ es infinitamente diferenciable. Además, para $x>0$

$$ \eqalign { f' \left ( x \right ) &= \frac {1}{{{x^2}}}f \left ( x \right ) \cr f'' \left ( x \right ) &= \left ( { \frac {1}{{{x^4}}} - \frac {2}{{{x^3}}}} \right )f \left ( x \right ) \cr f''' \left ( x \right )&= \left ( { \frac {1}{{{x^6}}} - \frac {6}{{{x^5}}} + \frac {6}{{{x^4}}}} \right )f \left ( x \right ) \cr &\&c \cr } $$

Por lo tanto, se puede probar inductivamente que para $x>0$ , $$f^{(k)}(x)=P_{2k}(x^{-1})f(x)$$ donde $P_{2k}$ es un polinomio de grado $2k$ .

Como $x \to 0^+$ esto equivale a mirar $$ \lim_ {x \to + \infty }P(x) \exp (-x)=0$$ para $P$ cualquier polinomio.

Así que, para cualquier $k$ el límite como $x \to 0$ del derivado es $0$ . Ahora usamos un teorema ligeramente subestimado

Teorema Supongamos que $f$ es continua en $x=a$ que $f'(x)$ existe para todos $x$ en un barrio de $a$ . Supongamos además que $$ \lim_ {x \to a}f'(x)$$ existe. Entonces $f'(a)$ existe y $$f'(a)= \lim_ {x \to a}f'(x)$$

Prueba Por definición, $$f'(a)= \lim_ {h \to 0 } \frac {f(a+h)-f(a)}h$$

Considere $h>0$ . Para $h$ suficientemente pequeño, $f$ será continua a lo largo de $[a,a+h]$ y diferenciable sobre $(a,a+h)$ . Así, por Lagrange, podemos encontrar $a< \alpha_h <a+h$ de tal manera que $$ \frac {f(a+h)-f(a)}h=f'( \alpha_h )$$

Como $h \to 0^+$ ; $ \alpha_h\to a$ y como el límite existe, $$f'(a)^+= \lim_ {h \to 0^+} \frac {f(a+h)-f(a)}h= \lim_ {h \to 0^+}f'( \alpha_h )= \lim_ {x \to a}f'(x)$$ El caso $h<0$ es análogo. $ \blacktriangle $ .

Lo anterior permite concluir que efectivamente $f^{(k)}(0)=0$ para todos $k$ de donde $f$ es $C^k$ para cualquier $k$ . Ahora, note que su función es $$g(x)=f(1-x^2)$$