Probabilidad de que $n$ vectores extraídos al azar de $\mathbb{R}^n$ son linealmente independientes

Question

Tomemos $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estos vectores sean linealmente independientes? (es decir, forman una base de $\mathbb{R}^n$ )

(por supuesto el problema es equivalente a "tomar una matriz al azar de $M_{\mathbb{R}}(n,n)$ ¿Cuál es la probabilidad de que su determinante $\neq 0$ )

No sé si esta pregunta es difícil de responder o no. Por favor, comparta cualquier información al respecto. :-)

(el $n$ los vectores se entienden con valores reales, me interesan las soluciones en $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Q}$ o los campos que desee)

Answer 1

Como otros han señalado, el principal problema es lo que significa "tomar un vector al azar". La teoría de la probabilidad requiere que se especifique una determinada medida de probabilidad sobre ${\mathbb R}^n$ antes de poder hacer cualquier predicción sobre los resultados de los experimentos relativos a los vectores elegidos. Por ejemplo, si es totalmente improbable, es decir: la probabilidad es cero, que un vector con $x_n\ne 0$ se elige, entonces la probabilidad de que $n$ vectores elegidos independientemente son linealmente independientes es $\>=0$ ya que con probabilidad $1$ todos ellos yacen en el avión $x_n=0$ .

Un punto de partida razonable podría ser la instalación de un invariante rotacional medida de probabilidad. Como la longitud de la $n$ vectores elegidos no afecta a su dependencia o independencia lineal esto significa que estamos eligiendo $n$ vectores independientes distribuidos uniformemente en la esfera $S^{n-1}$ . (Esta descripción informal tiene un significado matemático preciso).

Bajo esta hipótesis, la probabilidad de que el $n$ vectores elegidos $X_k$ son linealmente independientes es $=1$ .

Prueba. El primer vector $X_1$ es linealmente independiente con probabilidad $1$ , como $|X_1|=1$ . Supongamos que $1< r\leq n$ y que la primera $r-1$ vectores son linealmente independientes con probabilidad $1$ . Entonces, con probabilidad $1$ estos $r-1$ los vectores abarcan un subespacio $V$ de dimensión $r-1$ que se cruza con $S^{n-1}$ en un $(r-2)$ -subesfera" de una dimensión $S_V^{r-2}$ . Esta subesfera tiene $(n-1)$ -medida de la dimensión $0$ en $S^{n-1}$ . Por lo tanto, la probabilidad de que $X_r$ se encuentra en esta subesfera es cero. Se deduce que con probabilidad $1$ los vectores $X_1$ , $\ldots$ , $X_{r-1}$ , $X_r$ son linealmente independientes.

Answer 2

Esto depende de cómo se tomen los vectores. Para el caso $n=2$ por ejemplo, si se tiene un vector $v_1$ la probabilidad de obtener un vector LD con $v_1$ es $0$ . Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos vectores LI es 1.