Integración gamma y beta: $\int_0^4y^3\sqrt{64-y^3}\,\mathrm dy$

Question

¿Cómo podemos evaluar la siguiente integral? $$\int_0^4y^3\sqrt{64-y^3}\,\mathrm dy$$ No encuentro nada que sustituir porque todas las identidades trigonométricas están en forma cuadrada...

Answer 1

$$\begin{align}\int_0^4 dy \, y^3 (64-y^3)^{1/2} &= \underbrace{2048 \int_0^1 dx \, x^3 (1-x^3)^{1/2}}_{y=4 x} \\ &= \frac{2048}{3} \underbrace{\int_0^1 du \, u^{1/3} \, (1-u)^{1/2}}_{x=u^{1/3}}\\ &= \frac{2048}{3} \frac{\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{17}{6}\right)} \end{align}$$