Encontrar el eje y el ángulo de rotación de una esfera.

Question

Una esfera es girado un cierto ángulo alrededor de algún eje. Dados dos puntos distintos en una esfera, marca su posición original como $A$$B$, sus posiciones después de la rotación $A'$$B'$. El uso de estos cuatro puntos, es posible averiguar utilizando sólo la regla y el compás el eje y el ángulo en el que la esfera se gira?

Por regla y compás en el espacio 3-dimensional, me refiero a que como de costumbre, usted puede conectar sólo dos puntos especificados con una línea recta o dibujar un círculo especificando un punto como centro, y a dos puntos en el perímetro.

El centro de la esfera está dado, (o no, ya se puede averiguar por sí mismo.)

Answer 1

Esférica herramientas

Al principio entendí definición de la regla y el compás como operaciones no en el espacio, pero en lugar de operaciones en la superficie de la esfera. Así que estos esférica herramientas, no espacial, que es un buen punto de partida.

Utilizando esférica círculos, usted puede construir la mediatriz de los segmentos $AA'$$BB'$, tal como lo haría en el plano, mediante la intersección de los círculos de igual radio alrededor de los extremos. Esta bisectriz es un greatcircle que es el lugar geométrico de todos los puntos a igual distancia de a $A$ $A'$ resp. $B$ $B'$ . Tenga en cuenta que este gran círculo se cruzará con el gran círculo a través de $A$ $A'$ en dos puntos, así que hay dos antipodal "puntos medios" para el segmento, no sólo uno. Pero ya que estamos interesados en la bisectriz en sí mismo, que no tiene que preocuparse acerca de los puntos medios.

Ahora que usted tiene estos dos bisectrices, fíjate en sus intersecciones. Que como bien se intersecan en dos antipodal puntos, que son los puntos donde su eje de rotación se cruza con el de la esfera. Y el ángulo de rotación es el pescador bajo las cuales estas bisectrices se cruzan.

Las herramientas espaciales

Entonces, ¿qué si su regla y compás realmente funcionan en el espacio? Dibujo de gran círculos a través de dos puntos dados, la regla de operación de la esfera, se convertiría en un compás de operación en el espacio, dibujando un círculo alrededor del centro de la esfera a través de los dos puntos dados.

La manera más fácil de construir las mediatrices implicaría la intersección de tres esferas: la esfera en la que los cuatro puntos de vivir y de dos esferas de igual radio alrededor de $A$$A'$. Pero su definición no se trata de una herramienta para ello.

Pero en este momento me siento como una extensión de su caja de herramientas sería necesario en cualquier caso. Su definición de una brújula operación es demasiado apretado. Por ejemplo, ni siquiera para atender el caso de dibujar dos círculos de igual radio. Además, a menudo se quiere dibujar círculos alrededor de un punto dado, pero con la arbitraria de radio; con su definición que sería imposible, porque no había ya tiene que saber a puntos en la preimeter del círculo, es decir, dos puntos a igual distancia del centro. Una posible generalización en este caso sería un círculo con un centro, un punto dado en el perímetro y una línea a través del centro de la circunferencia se cortan. Conceptualmente te gustaría construir una esfera alrededor del centro a través del perímetro determinado punto, y que la esfera donde se cruza la línea sería su segundo perímetro punto para el círculo de operación especificados.

Extendido espacial de la brújula

Así que por ahora voy a asumir que hay dos distintos compás de las operaciones. En ambos casos se dan en el centro y una línea a través de ese centro que el círculo tiene que cruzan. En el primer caso puede también dar un punto en el perímetro, mientras que en el segundo caso se dará la radio (tomada como la distancia entre dos puntos) y una segunda línea de la circunferencia se cruzan así. Así que en ambos casos a solucionar el centro, el avión y la radio, sin sobre-especificación.

El uso de estas herramientas, usted puede trabajar fuera del plano de la mediatriz de $A$$A'$, y, a continuación, dibuje el bisectriz.

1. Conecte $A$$A'$, con una línea de $a$
2. Dibuje un círculo alrededor del centro o $A$ a través de la línea de $a$ y un punto arbitrario $P$ en el espacio, no en $a$ y a una distancia formulario de $A$ que es más de la mitad de la distancia $AA'$
3. Dibuje un círculo alrededor de $A'$ radio $AP$ a través de las líneas de $a$ $AP$
4. Los círculos están en el plano $AA'P$, y suficientemente grandes radios, por lo que se intersecan en dos puntos de $Q_1$ $Q_2$
5. Construir un círculo alrededor del centro de la $O$ de la esfera, que pasa a través de ambas líneas $OQ_1$ $OQ_2$ y con el radio de la esfera, es decir, $OA$
6. Realice los pasos $1$ a través de $5$ $B,B'$ en lugar de $A,A'$

De esta manera usted puede construir las mediatrices con herramientas muy similares a lo que pidió originalmente.