Supongamos que tengo dos n-esferas y no tengo ningún conocimiento previo acerca de las esferas (como uno de la esfera puede ser dentro de otro) y necesito calcular el volumen de la intersección de las dos esferas hyper. ¿Hay una forma eficiente y genérica para calcular el cap hiper esférico de la intersección de estas esferas n? Tenga en cuenta que se espera que los hyperspheres muy alto dimensional como 4096.
Respuestas
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Supongamos que se dan las coordenadas del centro y el radio de cada esfera. A continuación, puede calcular la distancia entre sus centros.
El volumen de la intersección sólo depende de esta distancia $d$ y los dos radios $r_1$, $r_2$.
Si $d \ge r_1+r_2$, la esfera de los interiores no se cruzan y el volumen es cero.
Si $d \le |r_1-r_2|$, luego de una esfera dentro de otra y el volumen es el de los más pequeños de la esfera.
De lo contrario, el volumen se compone de dos casquetes esféricos, pegado en un hyperplane.
La tapa de tamaños se pueden encontrar por considerar el triángulo con los lados $r_1$, $r_2$, $d$, que aparece en cualquier plano de la sección transversal, incluyendo la línea a través de los centros. La altitud a lado de la $d$ es donde las dos tapas están pegados.
La base de la cubierta de alturas en la (firmado) las distancias de los extremos del lado de la $d$ a esta altura:
$$c_1 = \frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$$
$$c_2 = \frac{d^2-r_1^2+r_2^2}{2d}$$
Ahora sólo tenemos que hacer la tapa de los volúmenes. EDIT: Esto no se puede hacer uso de funciones elementales. El volumen de un casquete esférico puede ser expresada en términos de la función gamma $\Gamma$ y la regularización de la función beta incompleta $I$. Para una limpieza derivación, ver Concisa de las Fórmulas para el Área y el Volumen de un Hyperspherical Cap, Shengqiao Li, Revista Asiática de Matemáticas y Estadística 4(1), 66-70, 2011.
$$ V^{cap}_n(r, \ge 0) = \frac{1}{2} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n I_{1-a^2/r^2}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) $$ $$ V^{cap}_n(r,a < 0) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n - V^{cap}_n(r,-a) $$
La respuesta final es, a continuación,$V^{cap}_n(r_1,c_1)+V^{cap}_n(r_2,c_2)$.
kirilsolo
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21
Me parece que la respuesta de arriba escrita por Matt es incorrecta. Específicamente, se incrementa la expresión que se cree que es que el valor exacto de $V_n^{cap}(r,a)$ es en realidad sólo una subestimación que consigue más lejos el valor correcto como $n$. Formalmente el radio $V_n^{cap}$ $x$ específico debe ser %#% $ #% en vez de a $$\sqrt{r^2-(r-x)^2}=\sqrt{2rx-x^2},$.
Así, la integral de esta expresión sería así $x$ $ aunque no estoy seguro de cómo se puede integrar.
Dave Haynes
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999
Siguiendo con la idea de usar tapones, el artículo de La Wikipedia tiene una mención de un buen resultado asintótico: Si $h$ es la altura de la tapa y $r$ es el radio de la hypersphere, a continuación, $V^{cap}_n\rightarrow V_n(1-F((1-h/r)\sqrt{n}))$ grandes $n$ donde $F$ es la integral de la norma de gauss.
En nuestro caso $h=\frac{2r-d}{2}$ y estamos interesados en la intersección que es $2V_n^{cap}$, con lo que conseguimos $2V^{cap}_n\approx V_n\,2(1-F(\frac{d}{2r}\sqrt{n}))$.
Esto muestra que la intersección, incluso normalizado por $V_n$ $0$ como la dimensión se hace grande. Bastante fresco.
