Cuando las aristas de un rectángulo se identifican para formar un toroide o una botella de Klein (cada uno de los cuales admite una métrica plana), la geometría de las esquinas es isométrica: Los cuatro ángulos rectos suman $2\pi$ .
Contrasta con la situación del plano proyectivo: En las esquinas del rectángulo euclidiano, el modelo no representa conformemente una vecindad. En su lugar, hay puntos cónicos, uno por cada par de vértices diagonalmente opuestos. Cada punto de cono tiene un ángulo incidente $\pi$ de los dos ángulos rectos.
En tu imagen superior, el disco no encierra el punto del cono en la esquina noroeste/sudeste, pero puedes ver el límite del disco "fruncido" cerca de la esquina sureste.
En la imagen inferior, el disco contiene un punto de cono, y el círculo delimitador serpentea dos veces a su alrededor. (El campo tangente unitario del círculo tiene un giro total de $2\pi$ pero sólo hay un ángulo intrínseco de $\pi$ incidente en el punto del cono).
Si es factible representar el plano proyectivo utilizando identificaciones de límites antipodales en un disco (que elimina los puntos del cono), obtendrá un comportamiento de los límites que se ajusta mejor a la intuición.
Editar : Hay una agradable cross-cap modelo del plano proyectivo que se puede hacer en aproximadamente un minuto a partir de una hoja de papel rectangular (y cerrada con cinta adhesiva como se desee) para ilustrar físicamente lo que ocurre con el disco en la pregunta original.
![Paper model template for a projective plane]()
Dobla el papel por la mitad a lo largo de la línea media vertical. Despliegue y repita la operación a lo largo de la línea media horizontal. La hoja debe tener ahora dos pliegues de valle perpendiculares que la atraviesan diametralmente.
Corta el papel desde el punto medio de la cara superior hasta el centro (el segmento en negrita). Dobla el cuarto I hacia abajo sobre el II, luego dobla el II hacia la derecha sobre el III, y luego dobla el III hacia arriba sobre el IV. Los cuatro cuartos quedan sobre IV en una disposición de cuatro pliegues. Identifique (por ejemplo, cerrando con cinta adhesiva) los bordes derecho y superior de las dos capas superiores (I y III), y los bordes derecho y superior de las dos capas inferiores (II y IV). La hendidura, que corre a lo largo del borde izquierdo, debe volver a unirse mentalmente; ésta (junto con el segmento real que une II y III) es la línea de auto-intersección de la tapa transversal.
Cuando I y II se doblan hacia la derecha sobre III, el borde superior de I y el borde inferior de III se juntan con orientación opuesta, y el borde izquierdo de I y el derecho de III se juntan con orientación opuesta. Del mismo modo, cuando I, II y III se doblan hacia arriba sobre IV, los bordes libres de II y IV se juntan con las orientaciones correctas para hacer un plano proyectivo.
El modelo terminado (pegado) puede abrirse en un cono de doble hoja (como un sombrero de papel) cuyo vértice es el centro de la hoja original. Los "puntos del cono" son los esquinas de la hoja original . En cada uno, sólo se tocan dos ángulos rectos de papel, por lo que cada punto tiene un defecto angular $\pi$ . En cualquier otro punto ( incluyendo el centro de la hoja ), un pequeño barrio tiene ángulo de incidencia $2\pi$ .
