Demostrando que una clase particular de integrales múltiples produce un número real.

Question

Me encontré con el siguiente problema en un examen de práctica:

Supongamos $a_1,...,a_n>0$ son tales que $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}<1.$$ Then $$\int_1^\infty\cdots\int_1^\infty\frac{1}{x_1^{a_1}+\cdots+x_n^{a_n}}\,dx_1\cdots dx_n<\infty.$$

Ahora, esto no es difícil para $n=1$ $\frac{1}{a_1}<1$ fib $a_1>1$ en esta circunstancia, y así, la convergencia está garantizada por la convergencia de $\sum_{k=1}^\infty k^{-a_1},$ pero no estoy seguro de cómo proceder para otros $n$. Tengo un par de ideas:

(1) en Realidad calcular la antiderivada en cada etapa, y la aplicación de métodos de las integrales impropias cuando sea necesario. Esto parece que sería más agitada de lo que vale.

(2) Encontrar un superior delimitador integrando que es más amigable, y demostrar que que la integral se evalúa a un número real. Este parece que podría ser factible, si puedo encontrar un delimitador integrando. Mis intentos hasta ahora han fracasado evalúe a un número real o no ser un delimitador integrando.

(3) Generalizar la integral de la prueba y el resultado que $\sum_{k=1}^\infty k^{-p}$ es un número real por $p>1$ en algunos de la moda. Esto parece que podría ser mi mejor apuesta, pero me preocupa que si no me la frase cuidadosamente, me puede estar tratando de demostrar los resultados que son incompatibles o no verdadero.

Mi pregunta es esta: ¿alguien tiene alguna recomendación de cómo podría proceder (si es una sugerencia para uno de los enfoques que se enumeran más arriba o la semilla de un enfoque totalmente diferente)? Gracias por cualquier ayuda que me puedan dar!

Answer 1

No es un método que utiliza coordenadas esféricas. Deje $A_1,\ldots,A_N\geq 1$. Tenemos que mostrar que $$I(A_1,\ldots,A_n):=\int_{\prod_{j=1}^n[1,A_j]}\frac 1{\sum_{j=1}^nx_j^{a_j}}dx_1\ldots dx_n$$ puede ser delimitada de forma independiente de la $A_1,\ldots, A_n$. Utilizamos las sustituciones $t_j^2=x_j^{a_j}$, $x_j=t_j^{\frac 2{a_j}}$, que dan $$I(A_1,\ldots,A_n)=C\int_{\prod_{j=1}^n[1,A_j^{\frac{a_j}2}]}\frac{\prod_{j=1}^nt_j^{2/a_j-1}}{|t|^2}dt_1\dots dt_n,$$ donde $C$ solo depende de los $a_j$. Tomamos nota de que $\prod_{j=1}^n[1,A_j^{\frac{a_j}2}]$ está contenida en un conjunto de la forma $\{x\in\Bbb R^n, r_1\leq |x|\leq r_2\}$ donde $r_1>0$ (no depende de la $A_j$) y $|\cdot|$ es la norma euclidiana. Tenemos $$I(A_1,\ldots,A_n)\leq C\int_{\{r_1\leq |t|\leq r_2\}}\frac{\prod_{j=1}^nt_j^{2/a_j-1}}{|t|^2}dt_1\dots dt_n.$$ Ahora vamos a utilizar coordenadas esféricas: el Jacobiano es $r^{n-1}$ los tiempos de términos en $\sin$$\cos$, lo que puede estar delimitado por $1$. También vamos a obligado a los términos procedentes de la $t_j$ en el numerador, para obtener $$I(A_1,\ldots,A_n)\leq C'\int_{r_1}^{r_2}r^{2\sum_{j=1}^n\frac 1{a_j}}r^{-n}r^{n-1}r^{-2}dr=C'\int_{r_1}^{r_2}r^{2\sum_{j=1}^n\frac 1{a_j}-3}dr.$$ Desde $2\sum_{j=1}^n\frac 1{a_j}-3<-1$, la integral de la $$\int_{r_1}^{+\infty}r^{2\sum_{j=1}^n\frac 1{a_j}-3}dr$$ es convergente y hemos terminado.