bolas de $m$ en $n$ urnas

Question

Asumir que no se $m$ bolas y $n$ urnas con $m\gt n$. Cada bola es lanzada al azar y de manera uniforme en las urnas. Es decir, cada pelota va en cada urna con una probabilidad de $\dfrac1n$.

¿Cuál es la probabilidad de que no son exactamente $r$ urnas con al menos una bola en ella? En otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que no se $n-r$ vacía las urnas?

( No estoy seguro de si hace alguna diferencia si las bolas y urnas de ser distinguibles o no. Si hay una diferencia asumir que las dos bolas y las urnas son distinguibles)

Answer 1

El resultado no debería depender de si la pelota y las urnas son distinguibles sólo de la derivación. Vamos a suponer que son distinguibles.

El número de maneras de colocar a $m$ (distinguibles) bolas en $r$ (distinguibles) urnas con ningún vacío urna

$$r! \, S_{m,r}$$

donde $S_{m,r}$ es el número de Stirling del segundo tipo. Por lo tanto el número total de formas de ocupación $r$ de las urnas de $n$ es

$${n \choose r} r! \, S_{m,r}$$

y la probabilidad, entonces es

$$p= \frac{{n \choose r} r! \, S_{m,r}}{n^m} = \frac{n! \, S_{m,r} }{(n-r)!\, n^m} = {n \choose r} \sum_{j=0}^r (-1)^{r-j} {r \choose j} \left(\frac{j}{n}\right)^m$$

(Por CIERTO, este es básicamente el mismo como una reciente pregunta)