¿Por qué las diagonales de los rombos se cruzan en ángulos rectos?

Question

He buscado por todas partes y no encuentro una buena prueba de por qué las diagonales de un rombo deben intersecarse en ángulos rectos. Puedo ver intuitivamente que es cierto, simplemente dibujando rombos, pero estoy tratando de demostrar que las pendientes de las diagonales son recíprocas negativas y no funciona.

Defino mi rombo de la siguiente manera: $[(0,0), (a, 0), (b, c), (a+b, c)]$

He conseguido averiguar que $c = \sqrt{a^2-b^2}$ y que las pendientes de las diagonales son $\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}$ y $\frac{-\sqrt{a^2-b^2}}{a-b}$

Lo que no puedo entender es cómo pueden ser recíprocos negativos entre sí.

EDITAR: Quiero decir que no he podido encontrar la prueba algebraica. He visto y entendido la prueba geométrica, pero necesitaba ayuda para traducirla en forma de coordenadas.

Answer 1

Otra forma de decir que las pendientes son recíprocas opuestas es decir que su producto es $-1$ .

$$\begin{align} \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}\cdot\frac{-\sqrt{a^2-b^2}}{a-b} &=\frac{-(\sqrt{a^2-b^2})^2}{(a+b)(a-b)} \\ &=\frac{-(a^2-b^2)}{a^2-b^2} \\ &=-1 \end{align}$$

Answer 2

No tienes que trabajar con raíces cuadradas si utilizas las propiedades del producto punto vectorial y la ley del paralelogramo para construir el rombo.

Es decir, una de las diagonales del rombo puede identificarse con $\mathbf{a + b}$ donde $\mathbf{b}$ es un vector que se añade cabeza a cola al vector $\mathbf{a}$ según la ley del paralelogramo. Del mismo modo, la otra diagonal viene dada por $\mathbf{b - a}$ . La restricción para un rombo es $\lVert \mathbf{a} \rVert^2 = \lVert \mathbf{b} \rVert^2$ . Dos vectores $\mathbf{u, v}$ son perpendiculares si $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ y como $\mathbf{(a + b)} \, \mathbf{\cdot} \, \mathbf{(b - a)}$ = $ \lVert \mathbf{b} \rVert^2 - \lVert \mathbf{a} \rVert^2 = 0$ las dos diagonales son perpendiculares.

Answer 3

Pista: Multiplica las pendientes entre sí y simplifica.

Answer 4

Una forma más de verlo es factorizando $a^2-b^2$ mientras está dentro de la raíz cuadrada. Entonces

$$ \begin{align} \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b} &= \frac{\sqrt{(a-b)(a+b)}}{a+b} = \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \\ - \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a-b} &= \frac{\sqrt{(a-b)(a+b)}}{a-b} = -\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}} \end{align} $$ A partir de aquí, es más fácil ver que tienen la relación correcta.