Se puede

Question

Que $A,B\in M_{n\times n} (\mathbb{C})$. ¿Es posible que $ABA-BAB=I$?

Me encontré con este interesante problema como yo estaba estudiando para un examen. Supongo que en el caso cuando $A$ y $B$ viaje tenemos $A(A-B)B=I$ y no estoy seguro si esto pasa.

¿Alguna idea?

Answer 1

De hecho, usted podría tener $A = I$ y entonces usted necesita $B - B^2 - I = 0$, que es el caso por ejemplo de $B = \pmatrix{0 & 1\cr -1 & 1\cr}$.

EDIT: Para un ejemplo de no ir al trabajo, trate de $A = \pmatrix{2 & 0\cr 0 & 1\cr}$, $B = \pmatrix{-1/2 & 1\cr -7/2 & 3\cr}$

Answer 2

Sí. Que $$A_n = \mathrm{diag}\left(\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}), \dots, \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})\right)$ $ y % $ $$B_n = \mathrm{diag}(1, \dots, 1).$en este ejemplo funcionará para cualquier $n$.

Edición: Ahora, para una solución general en el caso no conmutativo, combinar mi solución general conmutativa con $2 \times 2$ solución no conmutativa de Robert Israel, tomando el % de matrices diagonales del bloque $$\tilde{A}_n = \begin{pmatrix} A_{n-2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ y $$\tilde{B}_n = \begin{pmatrix} B_{n-2} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & 3 \end{pmatrix}.$ $