Si $4|y$,$2|z$, que a su vez, por la reducción de la mod $4$, $2|x$, contradiciendo primitivity. Multiplicar por $2$ y el factor de la ecuación en $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$:
$$(\frac{4x+y+\sqrt{-23}y}{2})(\frac{4x+y-\sqrt{-23}y}{2}) = 2z^3$$
Tenga en cuenta que ambas fracciones son parte integral. El mcd de los dos factores se divide $\sqrt{-23}y$$4x+y$. Si $23|4x+y$$23|z$, y la reducción de la ecuación original modulo $23^2$ vemos que $23|y$, por lo tanto también es $23|x$, contradiciendo primitivity. Por lo que el mcd divide $y$$4x+y$, y por el argumento de arriba, a continuación, debe ser $1$ o $2$, de acuerdo a si $y$ es par o impar, respectivamente.
En primer lugar, asumir que $y$ es impar. Por lo que el mcd es $1$. Por tanto, para algunos ideales $I$:
$$(2x+y\frac{1+\sqrt{-23}}{2})=(2,\frac{1+\sqrt{-23}}{2})I^3$$
Lo que implica que $(2,\frac{1+\sqrt{-23}}{2})$ que es lo principal, que conduce a una contradicción. Supongamos ahora que $y$ es aún, y que $x$ es por lo tanto extraño e $z$ es incluso. Poner $y=2u$, $z=2v$, $u$ raro, así que:
$$(2x+u+\sqrt{-23}u)(2x+u-\sqrt{-23}u)=16v^3$$
Ambos factores son divisble por $2$, por lo que:
$$(x+u\frac{1+\sqrt{-23}}{2})(x+u\frac{1-\sqrt{-23}}{2})=4v^3$$
Como antes, el mcd es 1, y desde $x+u\frac{1+\sqrt{-23}}{2}=x+u+u\frac{-1+\sqrt{-23}}{2} \in (2, \frac{-1+\sqrt{-23}}{2})$ debemos tener para algunos ideales $I$:
$$(x+u\frac{1+\sqrt{-23}}{2}) = (2, \frac{-1+\sqrt{-23}}{2})^2I^3$$
Contradiciendo ese $(2, \frac{-1+\sqrt{-23}}{2})^2$ no es lo principal (el ideal por encima de $2$ aparece al cuadrado, ya que el producto de factores es divisible por $4$). Hemos terminado!
En realidad parece que lo anterior puede ser generalizado, pero tengo que usar un importante teorema, que parece que podría ser un poco una exageración. Sin más preámbulos:
Deje $aX^2+bXY+cY^2$ ser una primitiva no principal forma cuadrática de discriminante $\Delta=b^2-4ac$, e $h$ ser el número de la clase de los asociados cuadrática campo. Suponga que hay una solución a $x,y,z$:
$$ax^2+bxy+cy^2=z^h$$
Recordando la Chebotarev Densidad Teorema (OVERKILL), hay una forma equivalente con $a$ impares primos que no dividen $\Delta$, y desde el invertible cambio de variables conserva primitivity, podemos reducir a este caso.
Multiplicando por $a$ y factoring más de $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$:
$$(ax+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2}y)(ax+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2}y)=az^h$$
El mcd de los factores divide $(2ax+by,\sqrt{\Delta}y)$. Decir $\Delta |2ax+by$, entonces a partir de la
$$(2ax+by)^2-\Delta y^2=4az^h$$
debemos tener $\Delta |z$, lo $\Delta |y$, y, finalmente, $\Delta |x$ (a menos que $\Delta=\pm 2$, lo cual es imposible), contradiciendo primitivity.
Por lo tanto el mcd divide $(2a,y)$.
1) mcd$=1$:
$$(ax+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2}y) = (a,\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2})I^h$$
contradiciendo que la forma no es principal.
2) mcd$=2$ o $2a$: a continuación, $y$ es aún, por lo $z$ es demasiado, y desde $a$ es impar, $x$ también deben ser, incluso, contradictorias primitivity.
3) mcd$=a$: lo $a|z$. Si $a^2|y$, a continuación, reducir el modulo $a$ vemos que $a|x$. Por lo $a||y$. Dividiendo este mcd de los dos factores, debemos tener:
$$(x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2}\frac{y}{a}) = (a,\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2})^{h-1}I^h$$
para algunos ideales $I$. Nota el particular ideal por encima de $a$, que aparece desde su conjugado no puede aparecer como $x$ no es divisble por $a$. Desde $(a,\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2})^{h-1} \sim (a,\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2})$, esto se contradice con que el formulario no es principal.
Hemos terminado!
Debe haber una manera de evitar la aplicación de un importante teorema de tales como Chebotarev... por Favor, dígame si usted tiene una idea de cómo :D
