¿Qué problemas interesantes de la física no se pueden resolver porque las matemáticas no están suficientemente desarrolladas?

Question

Tengo curiosidad por saber a qué tipo de problemas físicos no tenemos respuesta porque aún no hemos desarrollado las matemáticas adecuadas (o lo suficientemente avanzadas).

Relacionado con esta pregunta en Math StackExchange: ¿De qué manera ha estimulado la física la invención de nuevas herramientas matemáticas?

Answer 1

Arthur Suvorov hace un buen comentario, yo sólo voy a dar una lista de algunos problemas físicos específicos que se me ocurren de la cabeza.

1. Existencia de Yang Mills y brecha de masa (Premio del Milenio) y en general la problemática de las definiciones y construcciones rigurosas de las teorías cuánticas de campo
2. Ecuaciones de Navier Stokes y suavidad (también Millenium) - no es sólo Navier Stokes, sino todo el tema de turbulencia que molesta incluso a la gente de MHD, etc.
3. Soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein - tenemos soluciones exactas para situaciones supersimples, pero en cuanto quisiéramos generar soluciones físicamente plausibles para situaciones sólo un poco más complicadas, como un espacio-tiempo estacionario axialmente simétrico (ver Ecuación de Ernst ), las matemáticas simplemente no proporcionan las herramientas. Esto se aplica en general a las técnicas de generación de solitones en diversos campos.
4. La cuestión de la ergodicidad de los sistemas generales - La "flecha del tiempo" se considera en el caso más general una consecuencia de la hipótesis ergódica. Pero sólo se ha demostrado para una clase muy restringida de sistemas. Toda la discusión sobre la "flecha del tiempo" podría ser objeto de una verdad más general sobre la ergodicidad o incluso de un tratamiento realmente riguroso del hecho de que la complejidad se eleva contra la atracción del crecimiento de la entropía.
5. La búsqueda de soluciones no perturbadoras a los problemas de QFT (véase un relato popular de un reciente desarrollo limpio )
6. Ecuación de estado del centro de una estrella de neutrones - Esto está relacionado con la pregunta anterior, porque las condiciones en el centro de una estrella de neutrones son tales que se necesitaría un tratamiento no-perturbativo de, por ejemplo, un plasma de quark-gluones. El desconocimiento de tales ecuaciones de estado es un gran obstáculo para comprender fenómenos como la formación de agujeros negros.
7. Buena definición de la formulación de la integral de trayectoria de Feynmann - puede ver una revisión aquí . No estoy seguro de lo que la física puede estar acechando, pero creo que una definición rigurosa podría proporcionar un pasillo hacia nuevos conocimientos.
8. Mucho más - básicamente todas las teorías especulativas más allá del estándar son una mezcla de dar pasos físicamente plausibles con la resolución de problemas matemáticos que surgen en cada uno de los pasos. Seguramente habrá una larga lista que no me siento capacitado ni siquiera para empezar.

Answer 2

Muchos problemas de física del mundo real contienen un gran número de variables y, por tanto, tienen ecuaciones muy complicadas que describen su dinámica asociada. Un ejemplo de ello son las ecuaciones diferenciales parciales no lineales, que son notoriamente difíciles de resolver. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes. Se trata de ecuaciones de física real que describen los movimientos de los fluidos y sus características físicas.

Nadie ha resuelto aún el problema de la existencia global y la unicidad de estas ecuaciones, y de hecho es uno de los problemas del premio del milenio debido a su dificultad. En relación con su pregunta, tenemos efectivamente una ecuación que describe un fenómeno físico para el que las herramientas matemáticas no son todavía suficientes para demostrar que está bien definido y, por tanto, es difícil hablar de la precisión de la física extraída en relación con la solución de esta ecuación.