¿Alguien por favor me puede ayudar en la solución de este problema integración del $\int \frac{e^x}{1+ x^2}dx \, $?
En realidad, estoy consiguiendo atrapado en un momento resolver este problema mediante la integración por partes.
Respuestas
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Desde $x^2+1=(x+i)(x-i)$, fracción parcial descomposición conduce a $$\frac 1{x^2+1}=\frac 1{2i}\Big(\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\Big)=-\frac i{2}\Big(\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\Big)$$ So $$I=\int \frac{e^x}{1+ x^2}\,dx =-\frac i{2}\int\Big(\frac{e^x}{x-i}-\frac{e^x}{x+i}\Big)\,dx=-\frac i{2}\int\Big(\frac{e^i\,e^{x-i}}{x-i}-\frac{e^{-i}\,e^{x+i}}{x+i}\Big)\,dx$$ Now make change of variable $y=x-i$ for the first and $z=x+i$ for the second. So $$I=-\frac {i e^i}{2}\int \frac{e^y}y dy+\frac {i e^{-i}}{2}\int \frac{e^z}z dz$$ and remember that $$\int\frac {e^t} t dt=\text{Ei}(t)$$ which finally makes $$I=\frac{1}{2}\, i \,e^{-i}\, \text{Ei}(x+i)-\frac{1}{2}\, i\, e^i\, \text{Ei}(x-i)$$ with $i\,e{^i}=-\sin (1) + i \cos (1)$ and $i\,e^{-i}=\sin (1) + $ \cos (1).
Alexandros Gezerlis
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Según Wolfram|Alpha, no hay forma cerrada existe. Sin embargo, eso no significa que no puede hacer ningún progreso en absoluto.
Podemos utilizar la sustitución de $x=\tan{u}$, ampliar el resultado integrando como una potencia de la serie en $\tan{u}$ y, a continuación, cada término puede ser expresado por medio de una fórmula de reducción.
Deje $x=\tan{u}$. A continuación, ${\mathrm{d}x \over \mathrm{d}u} = \sec^{2}{u}$. Por lo tanto, tenemos \begin{eqnarray*} \int\frac{e^{x}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x & = & \int\frac{e^{\tan{u}}}{1+\tan^{2}{u}}\sec^{2}{u}\,\mathrm{d}u\\ & = & \int e^{\tan{u}}\,\mathrm{d}u\\ & = & \int \left( 1+ \tan{u} + \frac{1}{2!}\tan^{2}{u}+ \ldots + \frac{1}{k!}\tan^{k}{u} + \ldots \right)\,\mathrm{d}u\\ & = & \int \left( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\tan^{k}{u} \right)\,\mathrm{d}u\\ & = & \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}I_{k}, \end{eqnarray*} donde, para cada una de las $k=0,1,2,\ldots$,$I_{k} = \int \tan^{k}{u}\,\mathrm{d}u$.
Ahora tenemos en cuenta la fórmula de reducción de la siguiente manera: para $k\geq2$, tenemos \begin{eqnarray*} I_{k} & = & \int\tan^{k}{u}\,\mathrm{d}u\\ & = & \int (\sec^{2}{u}-1)\tan^{k-2}{u}\,\mathrm{d}u\\ & = & \int \sec^{2}{u}\tan^{k-2}{u}\,\mathrm{d}u - I_{k-2} & = & \frac{1}{k-1}\tan^{k-1}{u} -I_{k-2}. \end{eqnarray*} Además, tenga en cuenta que$I_{0} = u\,(+\text{constant})$$I_{1} = \log{\sec{u}}\,( + \text{constant} )$. Utilizando la fórmula de la derivada de la anterior y estos dos valores iniciales, podemos calcular el $I_{k}$ para cualquier valor de $k$ (puede ser una fórmula general; no he comprobado).
Por lo tanto, tenemos una serie representación de la integral como muchos términos como nosotros por favor, tenga en cuenta también que cada término de la serie es básicamente un polinomio en $x=\tan{u}$ con un $\tan^{-1}{x}$ o $\log{\sec{\tan^{-1}{x}}}$ añadidos al final.
Aaron
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http://www.wolframalpha.com/INPUT/?i=Integrate%28exp%28x%29%2F%281%2Bx* x % 29% 29
Leer desde el enlace no puede resolverse utilizando byparts
Alexandros Gezerlis
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1468
Esta es una alternativa a la otra respuesta que me han proporcionado. He decidido añadir otra respuesta, porque creo que utiliza una suficientemente enfoque diferente, y nadie parece haber insinuado. Comenzamos como hemos empezado en mi otra respuesta a esta misma pregunta, y continuar hasta llegar a $$\int e^{\tan{u}}\,\mathrm{d}u.$$ a partir De aquí, las dos respuestas divergen radicalmente, y el contenido de este post va a ser totalmente relacionada con la evaluación de esta integral, que a su vez responde a la pregunta.
En la otra respuesta, hemos ampliado $e^{\tan{u}}$ como una potencia de la serie en $\tan{u}$. Ahora, en cambio, se debe expandir $\tan{u}$ como una potencia de la serie en términos de $u$. A continuación, $e^{\tan{u}}$ es un infinito producto de exponenciales, de cada uno de los cuales puede ser ampliada como una potencia de la serie. A partir de esta secuencia de expansiones, que producen una potencia de serie para $e^{\tan{u}}$ que puede integrarse término a término.
El poder de la serie para $\tan{u}$, válido para $|u|<\pi/2$ $$\tan{u} = \sum_{n=1}^{\infty} {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n}) \over (2n)!}u^{2n-1} = u+\frac{u^{3}}{3}+\frac{2u^{5}}{15}+\ldots.$$
Por lo tanto, para $|u|<\pi/2$, tenemos \begin{eqnarray*} \exp{\tan{u}} & = & \exp{\left(\sum_{n=1}^{\infty} {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n}) \over (2n)!}u^{2n-1}\right)}\\ & = & \prod_{n=1}^{\infty}\exp{\left( {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n}) \over (2n)!}u^{2n-1}\right)}\\ & = & \exp{u}\cdot\exp{\frac{u^{3}}{3}}\cdot\exp{\frac{2u^{5}}{15}}\cdot\ldots\\ & = & \sum_{k=1}^{\infty} \left({B_{2}^{k}(-4)^{k}(1-4)^{k} \over k!2!^{k}}u^{k}\right) \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \left({B_{4}^{k}(-4)^{2k}(1-4^{2})^{k} \over k!4!^{k}}u^{3k}\right)\cdot\ldots\\ & = & \left( 1+\frac{u}{1!}+\frac{u^{2}}{2!}+\ldots \right)\left( 1+\frac{u^{3}}{3^{1}\cdot1!}+\frac{u^{6}}{3^{2}\cdot2!}+\ldots \right)\left( 1+\frac{2u^{5}}{15\cdot1!}+\frac{2^{2}u^{10}}{15^{2}\cdot2!}+\ldots \right)\\ & = & 1 + u + \frac{u^{2}}{2!} + \left(\frac{u^{3}}{3!}+\frac{u^{3}}{3\cdot1!}\right) + \left(\frac{u^{4}}{4!}+\frac{u}{1!}\cdot\frac{u^{3}}{3\cdot1!}\right)\\ && \;\; + \left(\frac{u^{5}}{5!} +\frac{u^{2}}{2!}\cdot\frac{u^{3}}{3\cdot1!}+ \frac{2u^{5}}{15}\right)+\ldots\\ & = & 1 + u + \frac{u^{2}}{2} + \frac{u^{3}}{2}+\frac{3u^{4}}{8}+\frac{37u^{5}}{120}+\ldots. \end{eqnarray*}
Esto nos da una serie que creo que debe ser capaz de integrar término a término, para obtener \begin{eqnarray*} \int e^{\tan{u}}\,\mathrm{d}u & = & \int(1 + u + \frac{u^{2}}{2} + \frac{u^{3}}{2}+\frac{3u^{4}}{8}+\frac{37u^{5}}{120}+\ldots)\,\mathrm{d}u\\ & = & \text{constant} + u + \frac{u^{2}}{2} + \frac{u^{3}}{6}+\frac{u^{4}}{8}+\frac{3u^{5}}{40}+\frac{37u^{6}}{720}+\ldots. \end{eqnarray*}
Por lo tanto, suponiendo que nuestro intervalo de integración es dentro de $|\tan^{-1}{x}|<\pi/2$, tenemos \begin{eqnarray*} \int\frac{e^{x}}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \text{constant} + \tan^{-1}{x} + \frac{(\tan^{-1}{x})^{2}}{2}+ \frac{(\tan^{-1}{x})^{3}}{6}+\frac{(\tan^{-1}{x})^{4}}{8}+\frac{3(\tan^{-1}{x})^{5}}{40}+\frac{37(\tan^{-1}{x})^{6}}{720}+\ldots, \end{eqnarray*} y estoy bastante seguro de que podemos ajustar a intervalos de integración con el hecho de que $\tan{(u+\pi)}=\tan{u}$ todos los $u\in\mathbb{R}$ que $\tan{u}$ está definido.
