Hace poco publiqué un post sobre este tema, pero hubo un malentendido por mi parte. Como mi francés no es muy bueno, leí mal el artículo original de Galois. Así que permítanme explicar mi pregunta de nuevo.
Dejemos que $f(X)$ sea un polinomio irreducible sobre un campo $K$ de la característica $0$ .
Dejemos que $L$ sea un campo de división de $f(X)$ en $K$ .
Dejemos que $G$ sea el grupo de Galois de $L/K$ .
Dejemos que $S$ sea el conjunto de todas las raíces de $f(X)$ en $L$ .
Supongamos que $G$ es soluble y actúa primitivamente sobre $S$ .
Es bien sabido que el grado de $f(X)$ es una primera potencia $p^k$ .
Dejemos que $a, b$ sean elementos distintos de $S$ .
Galois escribió que el estabilizador puntual de $\{a, b\}$ es $1$ excepto en los siguientes casos.
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$p^k = 9, 25$
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$p^k = 4$
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$k > 1$ y que $(p^k - 1)/(p - 1)$ sea $M$ . Hay un divisor de potencia primo $q^r$ de $M$ tal que $(M/q^r)k = p \pmod q^r$
Escribió algo sobre el estabilizador puntual de $\{a, b\}$ en este caso, pero no puedo entenderlo del todo. Escribió (he cambiado un poco las anotaciones):
siempre será necesario que siendo conocidas dos de las raíces, las otras se deduzcan, al menos mediante un número de radicales, del grado $p$ , igual al número de divisores $q^r$ de $M$ que son como $(M/q^r)k = p \pmod q^r$ , $q$ de primer nivel.
Me parece que se refería al estabilizador puntual de $\{a, b\}$ es de orden $p^s$ y $s$ es el número de divisores de potencias primos $q^r$ que satisface la condición anterior.
¿Son correctas? ¿Podría alguien explicarme esto?
