Me quedé atascado al evaluar estas dos integrales impropias: $$ \int_a ^b \frac {dx}{ \sqrt {(b-x)(x-a)}} $$ y $$ \int_0 ^1 \frac {dx}{ \sqrt {x-x^3}} $$ ¿Cómo evaluarlos? ¡Gracias!
Respuestas
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Michael Hardy
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Dejemos que $u=\dfrac{x-a}{b-a}$ para que $du=\dfrac{dx}{b-a}$ . Entonces \begin{align} \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}} & = \int_0^1 \frac{du}{\sqrt{u(1-u)}} \\[10pt] & = \int_0^1 u^{\frac 1 2 -1} (1-u)^{\frac 1 2 - 1}\,du \\[10pt] & = B\left( \frac 1 2, \frac 1 2 \right) = \frac{\Gamma\left(\frac 1 2\right)\Gamma\left(\frac 1 2 \right)}{\Gamma\left(\frac 1 2 + \frac 1 2 \right)} = \pi. \end{align}
Mario G
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\begin{align*} \int_a^b{\frac{\mathrm dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}}&=\int_a^b\frac{\mathrm d x}{\sqrt{-ab+(a+b)x-x^2}}\\ &=\int_a^b\frac{\mathrm dx}{\sqrt{-ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}}\\ &=\int_a^b\frac{\mathrm dx }{\sqrt{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2}} \end{align*} Pongamos $$\frac{b-a}{2}\sin t=x-\frac{a+b}{2},\quad\mathrm dx=\frac{b-a}{2}\cos t\mathrm dt$$ donde $$x=a\implies \frac{b-a}{2}\sin t_1=-\frac{b-a}{2}\implies t_1=-\frac{\pi}{2},$$ $$x=b\implies \frac{b-a}{2}\sin t_2=\frac{b-a}{2}\implies t_2=\frac{\pi}{2}$$ De ello se desprende \begin{align*} \int_a^b\frac{\mathrm d x}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\frac{b-a}{2}\cos t \,\mathrm dt}{\frac{b-a}{2}\cos t}\\ &=\pi \end{align*}
Paramanand Singh
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Utilice la sustitución $x = a\sin^{2}t + b\cos^{2}t$ con la suposición $a < b$ para conseguir $$(b - x)(x - a) = (b - a)^{2}\sin^{2}t\cos^{2}t$$ y los límites de la integración cambian a $\pi/2$ y $0$ correspondiente a $x = a$ y $x = b$ . Y finalmente usando $$\frac{dx}{dt} = -2(b - a)\sin t\cos t$$ obtenemos la integral deseada como $$\begin{aligned}I &= \int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{(b - x)(x - a)}}\\ &= \int_{0}^{\pi/2}\frac{2(b - a)\sin t\cos t}{(b - a)\sin t\cos t}\,dt\\ &= 2\int_{0}^{\pi/2}dt = \pi\end{aligned}$$
