Número de subgrupos de primer orden

Question

He estado haciendo algunos ejercicios de mi introducción al álgebra de texto, y se topó con un problema que me reduce a probar que:

El número de los distintos subgrupos de primer orden $p$ de un grupo finito $G$ es $0$ o congruentes a $1\pmod{p} $.

Con mi poca experiencia me fue incapaz de superar esto (todo lo que se puede concluir es que estos grupos son distintos corto de la identidad), y no encontrar ninguna solución con una búsqueda en google (excepto para el más fuerte teoremas que no me interesa porque mi nivel principiante).

Recuerdo que un resultado similar es ampliamente conocido como uno de los Teoremas de Sylow. Este resultado fue demostrado por el uso de acciones del grupo. Pero puede ser que mi problema se demostró sin utilizar el concepto de grupo de acciones? Esto puede ser demostrado CON el uso de ese concepto?

EDIT: Con la ayuda de los comentarios que se me ocurrió esto:

La acción Derek propuesta está bien definido en gran parte porque en un grupo si $ab = e$ (la identidad), entonces, ciertamente,$ba = e$. Por Orbit-Estabilizador Teorema podemos ver que todas las órbitas son de tamaño 1 o $p$ (aquí tuve más problemas, y se encontró grupo cíclico de orden $p$ actúa sobre el conjunto de soluciones de la misma manera). Las órbitas de tamaño 1 contienen precisamente los elementos $(x,x,x....,x)$ algún elemento x en G. además, los pedidos de todas las órbitas agregar a a $|G|^{(p-1)}$ debido a que las órbitas son clases de equivalencia de una relación de equivalencia. Pero, ciertamente, $(e,e,e....,e)$ está en una órbita de tamaño 1, y eso significa que tiene que ser más órbitas de exactamente un elemento, en realidad, $p-1 + np$ más para algún entero $n$. Estos elementos constituyen los distintos grupos que estoy buscando. si $p-1$ divide $(p-1 + np)$, es fácil comprobar que el resultado es 1 mod p.

Puede alguien comprobar si he entendido correctamente?

Answer 1

He aquí otro enfoque. Considerar las soluciones a la ecuación de $x_1x_2\cdots x_p=1$ en el grupo $G$ de orden divisible por $p$. Ya que no hay una solución única para cualquier $x_1,\ldots,x_{p-1}$, el número total de soluciones es $|G|^{p-1}$, el cual es divisible por $p$. Si $x_1,x_2,\ldots,x_p$ es una solución, entonces se $x_2,x_3,\ldots,x_p,x_1$, y así tenemos una acción de la $p$ciclo $(1,2,3,\ldots,p)$ en el conjunto solución.

Desde $p$ es primo, las órbitas de esta acción tiene el tamaño de $p$ si $x_1,x_2,\ldots,x_p$ no son todos iguales, y el tamaño y 1 si son todos iguales. Por lo que el número de soluciones de $x^p=1$ es un múltiplo de a $p$. Ahora uso Steve D la pista para completar la prueba.

Por cierto hay un teorema de Frobenius que dice que para cualquier $n>0$ y cualquier grupo finito de orden divisible por $n$, el número de soluciones de $x^n=1$ es un múltiplo de a $n$.

Answer 2

En la posibilidad de que te gusta la teoría de grafos, aquí es un tonto uso de los desplazamientos gráfico para organizar el recuento:

Vamos a V ser la colección de subgrupos de G de primer orden p. Deja E ser de todos los pares $(P,Q)$ donde P y Q son subgrupos de orden p que se desplazan: xy = yx para todos los x en P y s en Q.

Lema: Si $\langle x\rangle$ $\langle y\rangle$ no son vecinos, ninguno de los dos se $\langle x \rangle$ $\langle x^{-i} y x^i \rangle$ cualquier $i$.

Prueba: Si $x x^{-i} y x^i = x^{-i} y x^i x$, luego se multiplica $x^i$ a la izquierda y $x^{-i}$ sobre el derecho a obtener $x y = y x. \square$

Puesto que x es de orden p, eso significa que cualquier no-vecino y en realidad le da p (no a los vecinos.

Lema: La no-vecinos de x vienen en lotes de p.

Que es bastante agradable, ya que nos puede ignorar la mayor parte de la gráfica si sólo estamos contando los vértices mod p: sólo tenemos que mirar a los vecinos de x. Se pone aún mejor:

Lema: Si x y z son vecinos, pero y no es un vecino de x, entonces $z^{-i}\langle y \rangle z^i$ no es también un vecino de x.

La prueba es en realidad el mismo que antes, ya que sólo se utiliza ese $x$ $x^i$ conmutó en la prueba anterior, y ahora vamos a utilizar ese $x$ $z^i$ viaje.

Esto significa que no sólo podemos ignorar la no-vecinos de x, pero podemos elegir otro vecino z de x, e ignorar a alguien que no es un vecino de ambos x y z! Esperemos a ver cómo podemos continuar:

Lema: Si X ⊆ V es un conjunto de vértices que son todos los vecinos comunes (los llamados camarilla), entonces los vértices que no son vecinos de todos ellos vienen en lotes de p.

Así que seguimos aplicando este hasta llegar a una máxima de la camarilla, y sabemos que todo lo que esté fuera de la camarilla viene en lotes de p, por lo que sólo queremos saber el tamaño de un máximo de camarilla.

Lema: la camarilla es, simplemente, el orden p subgrupos de) primaria abelian p-grupo, y, en particular, ha $$\frac{p^k-1}{p-1} \equiv \frac{-1}{-1} = 1 \mod p$$ subgroups of order p, where $p^k$ es el tamaño de la primaria abelian subgrupo.

Esto termina el problema. :-)

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Si g es cualquier elemento de G, entonces $g^{-1}Pg$ es en V si y sólo si P es Vy $(g^{-1}Pg,g^{-1}Qg)$ es en E si y sólo si $(P,Q)$ está en el Correo, así que por supuesto G actúa en el gráfico, pero normalmente no se vértice o arista transitivamente.

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En caso de que usted como ejemplos de trabajo en primer lugar, aquí está una explicación similar, pero haciendo referencia a un ejemplo estándar del grupo simétrico en 4 puntos.

Como un ejemplo, cuando G es el grupo simétrico de 4 puntos, a continuación, $$V = \{ \langle(12)\rangle, \langle(13)\rangle, \langle(14)\rangle, \langle(23)\rangle, \langle(24)\rangle, \langle(34)\rangle, \langle(12)(34)\rangle, \langle(13)(24)\rangle, \langle(14)(23)\rangle \}$$

y los bordes se ven como:

Ahora considere el $g^{-1}Pg$ g un elemento de orden p. Ya sea que conseguir un nuevo vértice, o $(\langle g \rangle, P)$ es una arista del grafo. Si obtenemos un nuevo vértice, entonces es fácil comprobar que realmente conseguir a p distintos vértices, ninguno conectado a $\langle g \rangle$, $P, g^{-1} P g, g^{-2} P g^2, \dots, g^{1-p} P g^{p-1}$.

Por ejemplo, si tomamos $g=(14)(23)$$P=\langle(24)\rangle$, entonces tenemos tanto $P=\langle(24)\rangle$$g^{-1}Pg=\langle(13)\rangle$. Así que este g de hojas de 5 vértices solos, y los swaps de dos pares de vértices.

Por lo tanto tenemos dos tipos muy distintos de los vértices: los tipos que están conectados a g, y los que no lo son. El tipo que no vienen en racimos de tamaño p, por lo que podemos ignorarlos, ya que sólo están contando mod p. Por lo tanto, puede concentrarse sólo en el barrio de g, que normalmente se llama algo como $\Lambda(C_G(g))$, pero para nosotros, es sólo un montón de cosas que conmuta con g.

Aquí es un poco de truco que hace que las cosas casi demasiado fácil: ¿qué es tan especial acerca de g? Todavía tenemos esta extraña bowtie gráfico en el ejemplo, y sinceramente prefiero triángulos. Bueno, voy a repetir el argumento de $h=(12)(34)$, pero dado que g y h conmutar, yo todavía sólo hay que considerar el barrio de g (siendo el bow-tie). Así que tenemos tres tipos de vértices: el tipo que se desplazan con g y h, del tipo de la que conmuta con g , pero no h (y, por tanto, h remolinos alrededor de ellos en los racimos de tamaño p), y el tipo que no conmuta con g (y, por tanto, g remolinos alrededor de ellos en los racimos de tamaño p).

En otras palabras, no se puede mantener la elección de los vecinos, hasta que me veo reducido a un subgrafo completo (una camarilla), porque las personas que no se conocen entre sí ponen juntos en racimos de tamaño p.

Una vez que estoy abajo para un grafo completo, ¿qué tengo? Sólo un montón de elementos de orden p que todos conmuta con cada uno de los otros, de modo que un elemental abelian grupo de orden $p^k$ que contiene exactamente $(p^k-1)/(p-1) \equiv (-1)/(-1) = 1 \mod p$ subgrupos de orden p.

Answer 3

Aquí es una estrategia que puede funcionar.

1. Reducir para el caso de $p$grupos de: demostrar que si $G$ es un grupo y $P$ un Sylow $p$-grupo, $c(G)$ el número de subgrupos de orden $p$ $G$ y de manera similar para$c(P)$,$c(P) \equiv c(G) \pmod p$. (Deje que un subgrupo de Sylow actuar en los subgrupos de orden $p$ y tratamos de imitar alguna prueba de Sylow del teorema. Se ha pedido recientemente en estos foros pero una búsqueda resultó vacía, quizás tengas más suerte.)

2. Tratar el caso de (finito) abelian $p$-grupos: son todos de la forma $C_{p^{a_1}} \times C_{p^{a_2 }} \times \dots \times C_{p^{a_k}}$. Elementos que satisfacen $x^p=1$ son todos de la forma $(g_1,g_2,\dots,g_k)$ donde $g_i^p = 1$ todos los $i$. Hay $p^k$ de dichos elementos, pero uno de ellos es $1$. Luego de pensar de Steve D el comentario de debajo de tu pregunta.

3. Ahora considere el caso de un general $p$grupo $P$ orden $p^i$ y deje $P$ actuar en $X$, el conjunto de elementos de orden $p$. Porque trivial órbitas se hallan en el centro de la $\mathbf Z(P)$, a la conclusión de que $|X| = (p^k-1) + \ell p$ algunos $k$$\ell$. Este número debe ser divisible por $p-1$. (El comentario de Steve de nuevo.) Desde $p\perp p-1$, esto implica que $p-1 \mid \ell$. A continuación, calcular el $|X|/(p-1) \pmod p$.

Answer 4

Por supuesto, usted necesita el supuesto de que $|G|$ es divisible por $p$.

Continuando con Steve D del comentario, para contar el número de elementos de orden $p$$G$, ten en cuenta que un elemento $x \in G$ satisface $x^p = 1$ precisamente al $(x,x,\ldots,x)$ es un punto fijo de $$S = \{(x_1, x_2, \ldots, x_p) : x_i \in G, x_1 x_2 \ldots x_p = 1\}$$ Then count the number elements of $S$ and the number of non-fixed points of $S$ (remember, you only need the counts mod $p$).