Longitudes de camino en una plaza de la unidad

Question

Supongamos que estoy en $(x=0,y=0)$ y quiero llegar a $(x=1,y=1)$. El camino más corto es la diagonal y tiene una longitud de $\sqrt{2}$. Pero de lo que si estoy solo se les permite hacer movimientos en direcciones coordenadas---por ejemplo, $1/2$ a lo largo de $x$, $1/2$ a lo largo de $y$, otro $1/2$ a lo largo de $x$, y un final $1/2$ a lo largo de $y$. Y luego a lo largo de mi trayectoria es $2$. De hecho, cualquier coordinar con restricciones de ruta tiene una longitud de $2$. Deje que el camino de $p_n$ $1/n$ a lo largo de $x$, seguido por $1/n$ a lo largo de $y$, seguido por $1/n$ a lo largo de $x$, etc., hasta que llego a $(1,1)$. Presumiblemente, el límite de $p_n$ $n\rightarrow\infty$ es la línea diagonal. Pero la longitud de la trayectoria de cada una de las $p_n$$2$, mientras que la longitud de la trayectoria de el límite es de $\sqrt{2}$.

Raro, ¿cierto? Es sólo un ejemplo que muestra que usted no puede límite de cambio y longitud de la ruta?

Answer 1

Se trata de qué tipo de aproximación que estás trabajando. La suma de los lados de un triángulo rectángulo NO aproximado es de la hipotenusa. Aunque el triángulo es realmente pequeña, los lados son todavía una mala aproximación. Para más específicos, en un isocolese triángulo rectángulo con lados de longitudes $x$ y la hipotenusa, $y$,$2x^2 = y^2$. Por lo $y= \sqrt{2}x$. Así $$ \lim_{x\to 0} \frac{x}{y} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{2}x} = 1/\sqrt{2} $$

Este le dice que su aproximación siempre será malo. Queremos que el límite de 1.

Para contrastar esto, veamos un ejemplo de una buena aproximación. En el círculo unidad, considere dos puntos de $A$$B$. Queremos aproximar la arclength de $A$ $B$por el acorde de$A$$B$. Llame a la arclength $\theta$ (estamos matemáticos, podemos usar radianes) y llamar a la longitud de la cuerda $x$. Haciendo algo de geometría, no es difícil mostrar que

$$ x = 2\sin(\theta/2) $$

Un resultado estándar de cálculo nos dirá que $$ \lim_{\theta\to 0} \frac{\theta}{2\sin{\theta/2}}=1 $$

De modo que la cuerda es una buena aproximación de la longitud de arco para la pequeña arclength!

Answer 2

Esto es porque usted no puede cambiar el límite que usted ha descrito y la longitud del camino. No importa cómo es grande su n es, si nos fijamos en uno de los cambios en x y un cambio en y, la distancia total de principio a fin siempre será √2 * el cambio en x (o y, porque son ambos el mismo). El error no desaparece como n consigue más grande. Así que, sí este ejemplo sólo muestra que no puede cambiar la longitud límite y camino.