Relación entre el producto interior y la norma

Question

Tengo entendido que puede haber muchos tipos diferentes de normas (por ejemplo, la norma media, la norma cartesiana, la norma suprema, etc.). ¿Existen también otros tipos de productos internos aparte de $\langle x,y \rangle= \sum_{j =1}^n x_j y_j$ ? Además, he leído que para cualquier producto interior sobre un espacio vectorial V la función $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ define una norma en el espacio vectorial. ¿Por qué es así? Entonces, ¿funciona esta fórmula para todos los diferentes productos internos?

Answer 1

Sí, hay muchos tipos de productos interiores. Consideremos el producto interno sobre $L^2$ dado por $\langle f, g \rangle = \int f(x) \overline{g(x)} dx$ .

Un producto interno $\langle , \rangle$ siempre define una norma mediante la fórmula $||x||^2 = \langle x, x \rangle$ . Se puede comprobar que se cumplen todas las condiciones de una norma. Sin embargo, lo contrario no es cierto, es decir, no toda norma da lugar a un producto interior. Las normas que satisfacen la ley del paralelogramo pueden utilizarse para definir productos internos a través de la identidad de polarización.

Answer 2

En $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{C}^n$ podemos presentar una caracterización de todos los productos internos. Fijemos un producto interior $\langle \cdot , \cdot \rangle$ probablemente la euclidiana. Entonces para cualquier matriz definida positiva $P$ , $(x,y) = \langle x,Py \rangle$ también es un producto interno. Aquí la definición positiva se define en términos de $\langle \cdot , \cdot \rangle$ .

A la inversa, cualquier producto interno en un espacio de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ tiene esa representación. En particular, dado un producto interno $(\cdot , \cdot)$ tenemos $P_{ij}=( e_i,e_j )$ , donde $\{ e_i \}_{i=1}^n$ es un sistema ortonormal con respecto a $\langle \cdot , \cdot \rangle$ . Esto da la representación de $P$ en términos de las coordenadas ortonormales dadas por $\langle \cdot , \cdot \rangle$ . Si el producto interior base es el euclidiano, entonces $\{ e_i \}_{i=1}^n$ puede tomarse como la base estándar, en cuyo caso ésta es la representación habitual.

El hecho de que todo producto interno induzca una norma es casi una simple consecuencia de la definición de producto interno. En concreto, $\| x \| \geq 0$ con $\| x \| = 0$ si $x = 0$ está completamente integrada en la definición. $\| a x \| = |a| \| x \|$ también es trivial, porque $\| a x \| = (ax,ax) = a \overline{a} \| x \|^2$ entonces $|a| = \sqrt{a \overline{a}}$ . La parte complicada es la desigualdad del triángulo. Se suele demostrar con la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Answer 3

La fórmula de la suma ponderada del producto interior, $$(x,y) = \sum_i w_i x_i y_i,$$ capta el significado esencial del producto interior - en dimensiones finitas todos los productos interiores actúan como una suma ponderada en alguna base (también la idea se puede generalizar a dimensiones infinitas utilizando el teorema espectral, la suma se convierte básicamente en una integral)

¿Por qué? Bueno, por definición los productos internos son formas bilineales simétricas definidas positivas, por lo que en dimensiones finitas siempre tienen una representación por una matriz simétrica definida positiva, $$(x,y) = x^T M y.$$

Tomando la descomposición del valor singular $M = U \Sigma U^T$ (o se puede hacer la descomposición de valores propios, ya que es una matriz SPD), que da $$(x,y) = x^T U \Sigma U^T y$$

Por lo tanto, si $x_i,y_i$ son los componentes de $x,y$ en la base de los vectores singulares de $M$ entonces se puede escribir el producto interior en forma de suma ponderada $$(x,y) = \sum_i \sigma_i x_i y_i,$$

donde el $\sigma_i$ son los valores singulares de la matriz diagonal $\Sigma$ .

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En términos de normas, las bolas unitarias para una norma inducida por un producto interior son elipsoides, con ejes dados por los vectores singulares, y longitudes de eje determinadas por los valores singulares. Así que, en un sentido más geométrico, existe una correspondencia directa entre los elipsoides y los productos internos.

Answer 4

Cualquier par de espacios de producto interno de dimensión igual y finita son, en efecto, isomorfos, por lo que no existe un producto interno significativamente diferente; para demostrarlo, observe que, a partir de cualquier base $b_1,b_2,\ldots,b_n$ de un espacio vectorial, se puede, conociendo el producto interior, eliminar las componentes de $b_i$ en paralelo a $b_1,\ldots,b_{i-1}$ asegurando que es ortogonal a cualquiera de ellos, y por lo tanto, debe ser posible encontrar una base ortogonal de vectores unitarios. Un mapa lineal entre dos espacios de igual dimensión, tomando una base ortogonal a otra, obviamente preserva los productos internos, por lo que los espacios son isomorfos.

Por lo tanto, no hay ningún producto interno, por ejemplo, que induzca la norma $||x||=|x_1|+|x_2|$ en $\mathbb{R^2}$ - por lo que el "círculo" de vectores donde $||v||=1$ es siempre una transformación lineal de una esfera cuando la norma es inducida por un producto interno - y, para espacios finitos, basta con mostrar que cualquier El producto interior induce una norma, ya que una norma sigue siendo una norma tras la aplicación de un mapa lineal.

Lo único no trivial necesario para demostrar que el espacio del producto interior induce una norma es la desigualdad del triángulo. Nótese que, en cualquier espacio, si necesitamos $||x+y||\leq||x||+||y||$ para vectores particulares $x$ y $y$ Sólo necesitamos que, en el lapso de $x$ y $y$ esto se mantiene; sin embargo, dado que el lapso de $x$ y $y$ es un subespacio lineal (a lo sumo) bidimensional del espacio del producto interior (que es, en sí mismo, un espacio del producto interior bidimensional, obviamente). Dado que la desigualdad del triángulo es válida para cualquier espacio de producto interno bidimensional (recordemos que todos son isomorfos), es válida en cualquier espacio de producto interno.

Answer 5

Hay muchos productos interiores. Por ejemplo, tomemos las matrices reales cuadradas y definamos $\langle A,B\rangle = tr(AB^T)$ con transposición como conjugación $\langle A,B \rangle = \langle B^T,A^T\rangle$ entonces $\langle A,B\rangle $ es un producto interno.

Yendo un poco más allá, a partir de un espacio normado se puede definir un espacio métrico tomando $d(x,y) = |x-y|$ (comprobar que se cumplen las condiciones de la métrica). Como has señalado, a partir de un producto interior podemos definir una norma tomando $||x|| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ (también puedes verificar las propiedades de la norma - recuerda usar Cauchy-Schwarz para demostrar la desigualdad del triángulo).