Morfismo separado - Hartshorne corolario II 4.2

Question

El corolario dice - Una arbitrarias de morfismos $f:X\longrightarrow Y$ es separado si y sólo si la imagen de la diagonal de morfismos es un subconjunto cerrado de $X\times_{Y} X$.

Estoy estudiando la prueba de esta proposición. Una forma es obvio. Para probar de la otra forma, tenemos que demostrar que el $\Delta$ es un homeomorphism en $\Delta(X)$ y los morfismos de poleas $O_{X\times_{Y} X}\longrightarrow\Delta_*{O_X}$ es surjective. Homeomorphism de nuevo es fácil de probar. Pero para demostrar la surjectivity, Hartshorne dice que es un local de que se trate. Eso no significa que comprobar que en el tallo nivel? No entiendo esta parte de la prueba.

Answer 1

Un arbitrario esquema es una colección de afín a los esquemas de parcheado juntos, y un afín esquema es de la forma $ \operatorname{Spec}(A) $ para algunos ring $A$.

A ver si un mapa de las poleas es surjective, es suficiente verificar es afín a nivel local. Por lo tanto podemos elegir un vecindario $U$ $P$ lo suficientemente pequeño como para que $\Delta(U) \subset V$ para un vecindario $V$$\Delta(P)$$X\times X$.

Tal afín barrios son afines esquemas, de manera que son de la forma $$ U= \operatorname{Spec}(A) \quad\text{and}\quad V=\operatorname{Spec}(B) $$ para algunos anillos de $A$$B$.

Aquí, localmente, el mapa que queremos demostrar a ser surjective coincide con el homomorphism de los anillos $$ B\otimes_A B \to B $$ y el hecho de que la restricción de los morfismos $\Delta$ $U$$$ \Delta : \operatorname{Spec}(B) = U\to U\times U = \operatorname{Spec}(B\otimes_A B) $$ es un cerrado de incrustación exactamente significa que (por definición) que el mapa de la parte superior de los anillos es surjective.