Estoy tratando de averiguar cómo calcular superior de la ramificación de los grupos de $\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^a})$. He probado a proceder como sigue. Escribir $L= \mathbb{Q}_p(\zeta_{p^a})$$K=\mathbb{Q}_p$, por lo que sabemos que $G=\textrm{Gal}(L/K)\simeq (\mathbb{Z}/p^a\mathbb{Z})^\times$. Debido a que la extensión es totalmente ramificado, de inmediato nos han
$$G_{-1}=G,\;\; G_0=G$$
y también sabemos que $G_1$ $p$- subgrupo de Sylow de $G$. Para calcular los $G_i$ $i\geq 1$ sabemos que tenemos un inyectiva homomorphism dada por
$$G_i/G_{i+1}\hookrightarrow U_L^{(i)}/U_L^{(i+1)}\simeq \overline{L},\;\;\sigma \mapsto \frac{\sigma \pi_L}{\pi_L}$$
donde el uniformizer de $L$$\pi_L=1-\zeta_{p^a}$. Escrito $\sigma_t$ para el elemento de la $G$ s.t. $\zeta_{p^a}\mapsto \zeta_{p^a}^t$ tenemos que $\sigma_t\in G_i$ satisface
$$\sigma_t\in G_{i+1}\Leftrightarrow \frac{\sigma_t \pi_L}{\pi_L}=\frac{1-\zeta_{p^a}^t}{1-\zeta_{p^a}}=1+\zeta_{p^a}+\ldots+\zeta_{p^a}^{t-1}\equiv 1\,(\textrm{mod }\pi_L^{i+1})$$
Estoy atascado aquí para el caso de al $i>0$, ya que el $\pi_L^{i+1}$ parece como un elemento molesto para trabajar con el y me parece que no puede averiguar cómo se representa la $\zeta_{p^a}$ modulo $\pi_L^{i+1}$.
Cualquier idea sobre cómo proceder? No estoy necesariamente en busca de una solución completa más como sugerencias. También tengo curiosidad por si hay otros enfoques a este problema que podría funcionar como estoy interesado en general, los trucos que se aplican a la computación de mayor ramificación de los grupos.
EDIT: he mirado en Neukirch y le asigna el mismo problema al final del capítulo 2. Hasta que punto el libro ha cubierto de nada, salvo que la teoría clásica de los campos de números y la teoría básica de los valores de los campos. Estoy más o menos buscando sugerencias en este contexto, a pesar de que yo pueda volver a la más avanzada de las sugerencias de una vez que tengo tiempo para estudiar esa teoría.
