La comparación de la medida de Lebesgue de un conjunto abierto y su cierre

Question

Deje $E$ ser un conjunto abierto en $[0,1]^n$ $m$ ser la medida de Lebesgue.

Es posible que $m(E)\neq m(\bar{E})$ donde $\bar{E}$ representa el cierre de $E$?

Answer 1

Sí, esto es posible. Ya en la dimensión $1$. Si usted toma una modificación conjunto de Cantor $C$ $[0,1]$ , que es un lugar denso, compacto subconjunto de medida positiva $\alpha \gt 0$. Su complemento $E = [0,1] \smallsetminus C$ es abierto, tiene una medida de $1 - \alpha$ y su cierre es de $[0,1]$ por la densidad. En las dimensiones superiores, simplemente, llevar el producto a $E^n$.

Otra forma de hacerlo es la enumeración de los racionales en $[0,1]$ y teniendo en $E = [0,1] \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} (q_{n} - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, q_{n} + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}})$. A continuación,$\mu(E) \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \varepsilon$, por lo que para $\varepsilon \lt 1$ el conjunto $E$ será abierto y denso en $[0,1]$, pero no todos los de $[0,1]$ y su cierre será a todos los de $[0,1]$ nuevo.

Agregado: (en vista de Davide comentario de abajo). Tenga en cuenta que es una versión modificada de conjunto de Cantor $C_\alpha \subset [0,1]$ de cualquier medida $0 \lt \alpha \lt 1$. Su complemento $E_{\alpha} = [0,1] \smallsetminus C_\alpha$ es abierto y denso en $[0,1]$ y tiene una medida de $1-\alpha$, y mediante la ampliación de esta muestra que para cada par de números positivos $0 \lt a \lt b$ no es un conjunto abierto $E_a$ de medida $\mu(E_a) = a$ cuyo cierre $\overline{E_a}$ tiene una medida de $\mu(\overline{E_a}) = b$. Dejo como un ejercicio fácil para construir un conjunto abierto de medida $a \gt 0$ cuyo cierre ha medida infinita.

Answer 2

Si se quita una grasa conjunto de Cantor (que es, un lugar denso medida positiva cerrado subconjunto) de $[0,1]$ obtener una densa abrir subconjunto de $[0,1]$ cuya medida es $< 1$. Así que la respuesta a tu pregunta es sí.