¿Cómo resolver este sistema no estándar de ecuaciones?

Question

Cómo resolver este sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2x^2+y^2=1,\\ x^2 + y \sqrt{1-x^2}=1+(1-y)\sqrt{x}. \end{casos} $$ veo $(0,1)$ es una raíz.

Answer 1

Solución.

Primera forma

A partir de la primera ecuación, tenemos $$\begin{cases} 2x^2\leqslant 1,\\ y^2 \leqslant 1 \end{casos} \Leftrightarrow \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ - 1 \leqslant y \leqslant 1. \end{casos}$$ Entonces, las condiciones de $x$ $y$ $$\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ - 1 \leqslant y \leqslant 1. \end{casos}$$ Tenemos $x^2 + y^2 = 1-x^2$. Por lo tanto,$x^2 + y^2 \leqslant 1$. De otra manera, $$1-x^2 = y \sqrt{1-x^2} -(1-y)\sqrt{x} \leqslant y \sqrt{1-x^2}.$$ Porque $$ y \sqrt{1-x^2} \leqslant \dfrac{y^2 + 1 - x^2}{2}.$$ Implica $$1-x^2 \leqslant \dfrac{y^2 + 1 - x^2}{2} \Leftrightarrow x^2 + y^2 \geqslant 1 .$$ De$x^2 + y^2 \leqslant 1$$x^2 + y^2 \geqslant 1$, $x^2 + y^2 = 1.$ Resolver $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1,\\ 2x^2 + y^2 = 1,\\ 0 \leqslant x \leqslant 1,\\ - 1 \leqslant y \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{casos} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0,\\ y = 1.\end{casos}$$

La segunda manera. Tenemos $2x^2 + y^2 = 1$, por lo $y=\sqrt{1 - 2x^2}$ o $y=-\sqrt{1 - 2x^2}.$

Primer caso, $y=\sqrt{1 - 2x^2}$, subtitution la segunda ecuación, obtenemos $$x^2 + \sqrt{1 - 2x^2}\cdot\sqrt{1-x^2}=1+(1-\sqrt{1 - 2x^2})\sqrt{x}.$$ equavalent a $$1 - x^2 - \sqrt{1 - 2x^2}\cdot\sqrt{1-x^2} + (1-\sqrt{1 - 2x^2})\sqrt{x}=0$$ o $$\sqrt{1-x^2} (\sqrt{1-x^2} - \sqrt{1 - 2x^2}) + (1-\sqrt{1 - 2x^2})\sqrt{x}=0.$$ Este es equavalent a $$\dfrac{\sqrt{1-x^2}\cdot(1-x^2-1+2x^2)}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1 - 2x^2}}+\dfrac{(1-1+2x^2)\sqrt{x}}{1+\sqrt{1 - 2x^2}} = 0$$ o $$x^2\left (\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1 - 2x^2}} + \dfrac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{1 - 2x^2}}\right )=0.$$ Es fácil ver que $$\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1 - 2x^2}} + \dfrac{2\sqrt{x}}{1+\sqrt{1 - 2x^2}}> 0$$ Por lo tanto $x = 0$.

El segundo de los casos. $y=-\sqrt{1 - 2x^2}.$ Se puede comprobar que $$x^2 + y \sqrt{1-x^2} \leqslant \dfrac{1}{2}$$ y $$1+(1-y)\sqrt{x} >1.$$ En este caso, el sistema de ecuaciones no tiene solución.

Answer 2

Resolvemos el segundo sistema de $y$:

$$y=\frac{-x^2+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}}$$

y sustituir en la primera ecuación y resolver $x$. Luego se ve que $(0,1)$ es la solución sólo real-valued. Análisis informático encuentra soluciones complejas $x$ Dónde está la raíz de un cierto $16$ polinomio de grado.

Edit: el polinomio exacto es $$ x^{16}+12 x^{15}+30 x^{14}-96 x^{13}-79 x^{12}+360 x^{11}+70 x^{10}-804 x^9-92 x^8+972 x^7+230 x^6-600 x^5-207 x^4+192 x^3+62 x^2-36 x+1 =0$ $