¿Cuál es la intuición geométrica de las formas diferenciales?

Question

Esta pregunta puede parecer un duplicado de éste pero es algo diferente. Estoy tratando de relacionar algunos significados geométricos que he visto en algunos libros con la definición de formas diferenciales en $\mathbb{R}^n$ como asignaciones $p \mapsto \omega(p)\in \Lambda^k(\mathbb{R}^n_{\phantom{n}p})$ .

Las formas diferenciales parecen ser un objeto de gran importancia geométrica. Sin embargo, no consigo comprender lo que realmente representan. Muchos libros, sobre todo de Física, intentan dar una interpretación geométrica a las formas diferenciales como "familias de superficies", de modo que el valor de un vector es el número de superficies que atraviesa.

Esto me confunde un poco. ¿Por qué tiene sentido esta interpretación? Es decir, si quiero construir un objeto con esta propiedad geométrica, ¿por qué debe ser una función que asocie tensores de simetría oblicua a cada punto del espacio?

Además, los campos vectoriales son fáciles de entender. Sabemos lo que es cada vector en cada punto, nos lo imaginamos como una pequeña flecha, y sabemos que pueden describir cosas con direcciones, pueden describir tasas de cambio siendo derivadas, etc. Ahora bien, esta interpretación geométrica que dan no nos permite imaginar formas diferenciales en puntos, sólo la asociación en cada punto.

Mi entendimiento era el siguiente según veo: Las formas diferenciales sustituyen a las clásicas $dx$ , $dA$ , $dV$ etcétera, que se consideraban objetos infinitesimales. Mi idea es que en ese caso, $\omega(p)$ representaría sólo una pequeña parte de las superficies $\omega$ representa y por eso, podríamos pensar en $\omega$ realmente relacionados con esos objetos infinitesimales. No estoy seguro de esta intuición, y no veo cómo esto nos llevaría hacia la definición rigurosa de las formas diferenciales.

Entonces, ¿cuál es el verdadero significado geométrico de las formas diferenciales y cómo este significado implica que la definición algebraica que damos es buena?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una forma 2 es una función que se come un paralelogramo (técnicamente se come 2 vectores, que deberías considerar como un paralelogramo) y escupe un número proporcional a su área. Una forma 3 se come un paralelepípedo (el análogo tridimensional de un paralelogramo) y escupe un número proporcional a su volumen. Una forma 4 se come un paralelótropo de 4 dimensiones y escupe un número proporcional a su hipervolumen. Una forma 1 se come un segmento de recta (que puede considerarse un paralelogramo unidimensional) y escupe un número proporcional a su longitud. Una forma 0 se come un único punto (que puede considerarse un paralelogramo de dimensión 0) y escupe un número, aunque no hay nada con lo que sea proporcional, ya que un punto no tiene extensión en el espacio. Creo que te haces una idea. En general, una n-forma se come n vectores, que puedes considerar como un paralelótropo de n dimensiones, y arroja un número proporcional a su hipervolumen.

Normalmente, los libros que enseñan formas diferenciales lo ocultan. Definen una forma n como una "función multilineal de valor real y simetría oblicua de n vectores". Pero significa lo mismo. Multilinealidad y asimetría = el resultado es proporcional a la longitud/área/volumen/hipervolumen. El determinante, que se utiliza para calcular el volumen de un paralelepípedo (y sus análogos de mayor y menor dimensión), tiene las mismas dos propiedades.

Entonces, ¿por qué exigimos que los formularios tengan esta propiedad? Pues porque es necesaria para la integración. Imagina una curva sobre la que quieres integrar. El primer paso es aproximarla con segmentos de línea. Luego aplicas una función a cada segmento para obtener un número. Si no, la suma no convergerá. Piénsalo, si la salida de la función fuera independiente de la longitud de la entrada, a medida que se añadieran más segmentos a la aproximación la suma se dispararía hasta el infinito. Ahora piensa en una superficie sobre la que quieras integrar. Puedes aproximarla con paralelogramos, imagina las escamas de un armadillo. A continuación, para cada paralelogramo se aplica alguna función que escupe un número. Necesitamos que los números se reduzcan a medida que lo hacen las escalas para que la suma converja realmente. Si quieres integrar un volumen tridimensional, aproxímalo con paralelepípedos y evalúa de nuevo una función para cada paralelepípedo. La salida de esta función debe reducirse con la entrada para que la suma converja. Estas funciones que integramos sobre curvas/superficies/volúmenes/hipervolúmenes son formas.

Ahora déjame explicarte por qué escribes formas como combinaciones lineales de formas elementales. Tiene que ver con el teorema de Pitágoras generalizado, que llamaré simplemente GPT. Del mismo modo que la longitud de un segmento de recta es igual a la suma de las longitudes al cuadrado de sus proyecciones sobre los distintos ejes de coordenadas, el área de un paralelogramo arbitrario es igual a la suma de las áreas al cuadrado de sus proyecciones sobre los distintos planos de coordenadas. Y el volumen de un paralelepípedo es igual a la suma de los volúmenes al cuadrado de sus proyecciones sobre los distintos subespacios tridimensionales. Y así sucesivamente. El teorema de Pitágoras no sólo se aplica a los segmentos de recta.

Así que veamos el ejemplo de una forma 1 que se come segmentos de línea incrustados en un espacio tridimensional. En general se verá como $adx + bdy + cdz$ (por si lo has olvidado, $dx$ , $dy$ y $dz$ son sólo funciones que se comen un segmento de línea y escupen sus proyecciones sobre los ejes x, y y z respectivamente). Todo lo que está pasando es que usted está tomando el producto escalar de un vector $(a,b,c)$ con otro vector $(dx,dy,dz)$ que es igual a la proyección de $(a,b,c)$ en $(dx,dy,dz)$ veces la longitud de $(dx,dy,dz)$ (la longitud de $(dx,dy,dz)$ es $\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ es decir, la longitud del segmento de línea por el GPT). En otras palabras $adx + bdy + cdz$ es literalmente otra forma de escribir: (proyección de $(a,b,c)$ en $(dx,dy,dz)$ ) por (longitud del segmento de línea). Puesto que la longitud del segmento de recta es un factor en este producto, la función es obviamente proporcional a la longitud del segmento de recta. Cualquier forma 1 puede escribirse así.

Otro ejemplo: Una 2-forma que come paralelogramos embebidos en un espacio tridimensional va a tener la forma $a(dx \wedge dy) + b(dx \wedge dz) + c(dy \wedge dz)$ (por si lo has olvidado, $dx \wedge dy$ , $dx \wedge dz$ y $dy \wedge dz$ no son más que funciones que devoran paralelogramos y escupen las áreas de sus proyecciones en los planos xy, xz e yz respectivamente). Así que esto es sólo otra forma de escribir el producto punto de $(a,b,c)$ y $(dx \wedge dy, dx \wedge dz, dy \wedge dz)$ que no es más que la proyección de $(a,b,c)$ en $(dx \wedge dy, dx \wedge dz, dy \wedge dz)$ veces la longitud de $(dx \wedge dy, dx \wedge dz, dy \wedge dz)$ (que es $\sqrt{(dx \wedge dy)^2 + (dx \wedge dz)^2 + (dy \wedge dz)^2}$ es decir, el área del paralelogramo por el GPT). En otras palabras, la combinación lineal es igual a: (proyección de $(a,b,c)$ en $(dx \wedge dy, dx \wedge dz, dy \wedge dz)$ ) por (área del paralelogramo). Que es claramente una función proporcional al área del paralelogramo.

Otro ejemplo: Una 2-forma que come paralelogramos en el plano. Tiene la forma general $a(dx \wedge dy)$ . Sólo necesita un plazo porque $dx \wedge dy$ ya te da el área del paralelogramo. Del mismo modo $dx$ te da la longitud de tu segmento de línea si sólo estás en 1 dimensión. Es sólo cuando estás en una dimensión mayor que la dimensión del segmento de línea/paralelogramo/paralelepípedo/paralelotopo que vas a tener que invocar la GPT es decir, tener una combinación lineal de múltiples formas elementales.

Así que espero que veas que las formas diferenciales son en realidad objetos muy simples. No son más que integrandos generalizados. Otras cosas en el cálculo exterior como la derivada exterior, el teorema de Stokes generalizado, etc son igualmente muy simples cuando se explican correctamente.

edit: una versión ligeramente depurada de este post con algunas fotos se puede encontrar aquí: https://simplermath.wordpress.com/2020/02/13/understanding-differential-forms/

Answer 2

Advertencia: : Esta respuesta es (¡juiciosamente!) incompleta, y no pretende dar el Único y Verdadero Significado Geométrico de las formas diferenciales. Además, hay tantas convenciones (con respecto a los espacios y sus duales, la colocación de índice, y vectores / covectores frente a campos vectoriales/ $1$ -formas) que es imposible ser coherente desde el punto de vista notacional y terminológico con otras fuentes que pueda haber leído.

Un diferencial $k$ -La forma puede considerarse como la definición (en cada punto) de un "dispositivo de medición para $k$ -elementos de volumen orientados". A grandes rasgos, por ejemplo, si se considera un campo vectorial como un campo de velocidad, entonces (para acuñar una frase) a $1$ -puede considerarse un "campo velocímetro (vectorial)".

Para dar a este principio heurístico una interpretación precisa en $\mathbf{R}^3$ , dejemos que $\mathbf{e}_i$ denotan los campos del marco cartesiano (es decir, los campos vectoriales cuyos valores en cada punto son la base estándar de $\mathbf{R}^3$ ); $dx^i$ la coordenada (dual) $1$ -formas; $\omega_i$ funciones suaves; y $a_i = \omega_i(p)$ el valor de $\omega_i$ en un punto $p$ . A $1$ -forma $$ \omega = \omega_1\, dx^1 + \omega_2\, dx^2 + \omega_3\, dx^3 $$ define la función lineal $\omega(p) = a_1\, dx^1 + a_2\, dx^2 + a_3\, dx^3$ en el espacio vectorial $T_p\mathbf{R}^3 \simeq \mathbf{R}^3$ . Si $X = X^1 \mathbf{e}_1 + X^2 \mathbf{e}_2 + X^3 \mathbf{e}_3$ es un campo vectorial, entonces $$ \omega(X)(p) = \sum_{i,j=1}^3 a_i X^j dx^i(\mathbf{e}_j) = a_1 X^1 + a_2 X^2 + a_3 X^3 $$ puede considerarse la "medida": $a_1$ veces el primer componente de $X$ y $a_2$ veces el segundo componente más $a_3$ veces el tercer componente.

Análogamente, si $\omega_{ij}$ son funciones suaves y $a_{ij} = \omega_{ij}(p)$ El $2$ -forma $$ \omega = \omega_{23}\, dx^2 \wedge dx^3 + \omega_{31}\, dx^3 \wedge dx^1 + \omega_{12}\, dx^1 \wedge dx^2 $$ define un lineal funcional $\omega(p) = a_{23}\, dx^2 \wedge dx^3 + a_{31}\, dx^3 \wedge dx^1 + a_{12}\, dx^1 \wedge dx^2$ en el espacio $\bigwedge^2(\mathbf{R}^3)$ de "orientado $2$ -elementos planos". Si $X = X^{23} \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 + X^{31} \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1 + X^{12} \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$ entonces $\omega(X)(p)$ puede considerarse la "medida": $a_{23}$ veces la proyección de $X$ en el $(x_2, x_3)$ -plano plus $a_{31}$ veces la proyección de $X$ en el $(x_3, x_1)$ -plano plus $a_{12}$ veces la proyección de $X$ en el $(x_1, x_2)$ -avión.

Obsérvese que las componentes de un campo vectorial $X$ son las proyecciones de $X$ en los ejes de coordenadas, por lo que las dos interpretaciones anteriores son más análogas de lo que puede parecer a primera vista.