Demostrando que $f(x)$ es creciente en $(0,+\infty)$

Question

Estoy recopilando algunos problemas fáciles para mis estudiantes y ahora me estoy enfrentando al siguiente problema:

Demuestra que la función $$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$ es creciente en $(0,+\infty)$.

Sin duda, lo resolverán usando la diferenciación logarítmica. Me pregunto qué debo hacer si alguien quiere que lo verifique solo haciendo la definición de función creciente. Creo que me estoy perdiendo algo aquí. Ilumina mi camino. ¡Gracias!

Answer 1

Puedes usar la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^\alpha \geq 1+\alpha x$ para $x$ real $>-1$ y $\alpha \geq 1$. Entonces para $x>0$ y $\alpha \geq 1$

$$ \alpha x \log(1+\frac{1}{\alpha x}) = x\log(1+\frac{1}{\alpha x})^\alpha \geq x\log(1+\frac{1}{x}). $$

Editar: Ver el comentario de E.Lim arriba. El uso de la desigualdad de Bernoulli podría ser cuestionable.