Construir una función monótona que tiene muchos numerable de discontinuidades

Question

He leído en un libro de texto, que parecía tener otros dudosa errores, que uno puede construir una monotonía de la función con discontinuidades en cada punto de una contables set $C \subset [a,b]$ mediante la enumeración de los puntos como $c_1, c_2, \dots$ y la definición de $f(x) = \sum_{c_n < x}2^{-n}$. Sin embargo, si parece que si dejamos $[a,b] = [0,1], C = \mathbb{Q} \cap [0,1]$, $f(x)$ es constante $1$ en todas partes excepto el 0, en un aparente contraejemplo.

Así que mi pregunta es: ¿cómo construir una monótona de la función que tiene discontinuidades, precisamente, en una contables set $C$? Además, hay relativamente fácil de visualizar las construcciones?

Answer 1

La construcción es correcta. Usaré tu ejemplo como ilustración. Que $\{q_n:n\in\omega\}$ ser una enumeración de $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ y que $f(x)=\sum\limits_{q_n<x}2^{-n}$ $x\in [0,1]$.

Primero consideremos lo que sucede en algunos $q_m$: $$\lim\limits_{x\to {q_m}^-}f(x) = \sum_{q_n<q_m}2^{-n}=f(q_m),$$ because as $x$ moves up towards $q_m$, $\{q_n:q_n < x\}$ includes more and more of the rationals less than $q_m$. Thus, $f$ is continuous from the left at $q_m$, but for every $x > q_m $ we have $$f(x)=\sum_{q_n<x}2^{-n} \ge \sum_{q_n\le q_m}2^{-n} = f(q_m)+2^{-m},$$ so $f $ jumps by at least $2 ^ {-m} $ at $ q_m $. In fact $$\lim_{x\to {q_m}^+}f(x) = f(q_m)+2^{-m},$$ and the jump is exactly $2 ^ {-m} $.

En cada % irracional $a \in [0,1]$, sin embargo, $f$ fácilmente se ve que es continua: $$\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = \sum_{q_n<x}2^{-n}=f(x).$ $