Conocimiento básico de una métrica.

Question

¿Qué es una métrica? ¿Depende una métrica del sistema de coordenadas que utilice? ¿Depende de las superficies (o de los manifiestos de mayor dimensión. Corríjanme si me equivoco al usar la palabra) sobre las que se eligen los marcos de coordenadas? ¿Existe alguna forma general para una métrica? En este curso se menciona que Gauss lo señaló como restricción para que una función métrica o de distancia infinitesimal sobre superficies sea $$(dS)^2 = g_{xx} (x,y)(dx)^2 + g_{xy} (x,y)dxdy + g_{yy} (x,y)(dy)^2.$$ Y es que la mencionada forma cuadrática restringida para que una métrica se parezca a una métrica euclidiana $(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2$ ¿es sólo una creencia que funciona en este comentario de Gauss o hay alguna explicación lógica adecuada para esto?

Answer 1

La palabra "métrica" se utiliza aquí en dos sentidos completamente diferentes.

${\bf 1.}\ $ En primer lugar un métrica en un conjunto $X$ es una función de distancia $d:\>X\times X\to{\mathbb R}_{\geq0}$ con las propiedades descritas en la respuesta de skyking. Un ejemplo es la métrica $$d(x,y):=\sum_{k=1}^n|x_k-y_k|$$ en ${\mathbb R}^n$ . Dado $x$ y $y$ la distancia $d(x,y)$ puede ser evaluado instantáneamente.

${\bf 2.}\ $ A Métrica riemanniana en un $m$ -de las dimensiones de la colmena $M$ (decir $M:=S^2$ ) es una ley que permite calcular productos escalares de vectores tangentes $X$ , $Y$ adjunta en el mismo punto $p\in M$ . Si $(x_1,\ldots, x_m)$ son coordenadas locales en la vecindad de $p$ entonces esta ley asume la forma $$\langle X,Y\rangle=\sum_{i, \>k} g_{ik}X_iY_k$$ con una cierta simetría positiva definida $m\times m$ matriz $[g_{ik}]$ , $g_{ik}=g_{ik}(x_1,\ldots, x_m)$ que se transforma de forma característica bajo el cambio de coordenadas. Tal métrica riemanniana convierte cada espacio tangente $T_p$ de $M$ en un $m$ -espacio vectorial euclidiano. En particular, podemos calcular la longitud de un vector tangente $X\in T_p$ y, en consecuencia, la longitud $L(\gamma)$ de curvas $\gamma\subset M$ . Esto nos permite finalmente establecer en $M$ un llamado métrica interna $d$ en el sentido ${\bf 1.}$ que es inducido por la métrica riemanniana dada $[g_{ik}]$ : $$d(p,q):=\inf_\gamma\> L(\gamma)\ ,$$ donde el $\inf$ abarca todas las curvas suaves en $M$ que van desde $p$ a $q$ . Esto significa que para determinar una distancia $d(p,q)$ tienes que resolver un problema mínimo.

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ En el sentido amplio de su pregunta, una "métrica" es un medio de cuantificar la "distancia" entre puntos en algún "espacio" (o set ) $M$ .

Un enfoque axiomático común conduce al concepto de "métrica topológica", una función $d$ (por "distancia") que asigna un número real positivo $d(p, q)$ a cada par desordenado de puntos distintos $p$ y $q$ en $M$ , con sujeción a la " desigualdad del triángulo ", y a la condición $d(p, p) = 0$ para todos $p$ . Este enfoque se describe en múltiples respuestas.

En 1854, Georg Bernhard Riemann dio su habilitación conferencia Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría (véase el punto 13 de la página enlazada), en el que adoptó un enfoque que conduce al concepto de métrica en su pregunta.

Supongamos que $M$ es un espacio que, cerca de cada punto, "parece" el $n$ -espacio cartesiano. Por "parece", debe imaginarse que si $p$ es un punto arbitrario de $M$ , entonces una vecindad suficientemente pequeña $U$ de $p$ en $M$ :

1. Se coordina continuamente por $n$ funciones de valor real (es decir, $U$ es homeomorfo a un subconjunto abierto de $\Reals^{n}$ ).

2. Existe una noción bien definida de diferenciabilidad . De manera imprecisa, si $(x^{1}, \dots, x^{n})$ y $(y^{1}, \dots, y^{n})$ son dos conjuntos diferentes de coordenadas cerca de $p$ entonces una función arbitraria de valor real $f$ es suave cuando se expresa en el $x$ coordenadas si y sólo si $f$ es suave cuando se expresa con respecto al $y$ coordenadas. Esto equivale a decir que el cambio de coordenadas mapea desde $x$ a $y$ es suave, e invertible con inversa suave.

Hoy en día llamamos $M$ (junto con una noción fija de "diferecibilidad") un $n$ -de la variedad lisa de las dimensiones . Los ejemplos incluyen el propio espacio cartesiano y cualquier subconjunto abierto no vacío, esferas de dimensión arbitraria (la "unidad $n$ -La "esfera" es el conjunto de puntos a distancia unitaria del origen en $\Reals^{n+1}$ ), toros de dimensión arbitraria, espacios proyectivos reales o complejos, y conjuntos de niveles regulares de mapeos suaves.

La idea de Riemann era, en esencia, la de _asumir la Teorema de Pitágoras se mantiene infinitesimalmente_ , es decir, que si $du$ y $dv$ son desplazamientos infinitesimales ortogonales, entonces la magnitud de su suma es $ds = \sqrt{du^{2} + dv^{2}}$ .

Con la perspectiva moderna, Riemann está equipando cada "espacio tangente" de $M$ con un producto interior una forma bilineal real, simétrica y definida positivamente, ahora llamada Métrica riemanniana . Con respecto a un sistema de coordenadas $(x^{1}, \dots, x^{n})$ una métrica riemanniana y la función longitud-cuadrado asociada tienen el aspecto siguiente $$ g = \sum_{i, j} g_{ij}\, dx^{i} \otimes dx^{j},\qquad (ds)^{2} = \sum_{i, j} g_{ij}\, dx^{i} \, dx^{j}. $$ (La métrica de Riemann $g_{p}$ en un punto $p$ acepta dos vectores tangentes y devuelve su producto interno; los componentes métricos $(g_{ij})$ son entradas de la matriz que dependen de la ubicación y que definen el producto interior. La función longitud-cuadrado es la forma cuadrática asociada, $(ds)^{2}(v) = g(v, v)$ .

Una métrica riemanniana no es la única "estructura geométrica inductora de distancia" que puede poseer una variedad. Además de las métricas topológicas generales, existen, por ejemplo, Colectores Finsler en el que cada espacio tangente está dotado de un función de norma y las variedades pseudo-riemannianas como en la relatividad general, en la que el producto interior no es positivo-definido).

Geometría riemanniana es el estudio de las variedades riemannianas, incluyendo cuestiones como

• Cuando dos métricas riemannianas isométrico ? (En términos generales, ¿cuándo dos representaciones de coordenadas diferentes determinan "la misma geometría"?) Incluso localmente (en la vecindad de un punto) la cuestión no es trivial. Riemann demostró que una métrica riemanniana es localmente isométrica a la métrica euclidiana $\sum_{i} (dx^{i})^{2}$ si y sólo si a cierto tensor de cuarto orden desaparece.

• Dado un vector tangente $v_{p}$ en algún momento $p$ y una trayectoria suave en $M$ unirse a $p$ a $q$ ¿existe una noción "natural" de transporte paralelo a lo largo de la trayectoria, dando lugar a un vector tangente $v_{q}$ en $q$ ? (La respuesta es "sí", y el tensor de curvatura de Riemann tiene la siguiente interpretación geométrica. Sea $u$ y $v$ sean vectores tangentes a $p$ . Transporte paralelo alrededor de un pequeño paralelogramo (curvilíneo) con lados (aproximadamente) paralelos a $u$ , $v$ , $-u$ y $-v$ define una transformación ortogonal del espacio tangente $T_{p}M$ y la dependencia resulta ser lineal en $u$ y $v$ . Decir que la curvatura desaparece es decir que el transporte paralelo alrededor de un pequeño paralelogramo es la transformación de identidad, como ocurre en la geometría euclidiana).

• Dados dos puntos $p$ y $q$ en una variedad riemanniana, ¿existe un "camino más corto" (técnicamente, un minimización de la longitud geodésico ) de $p$ a $q$ ? Si es así, ¿es tal geodésica única?

Localmente, las geodésicas existen y son automáticamente minimizadoras de la longitud, pero globalmente pueden no existir, o minimizar la longitud, por razones geométricas. Por ejemplo, si $M$ es el plano $\Reals^{2}$ con el origen eliminado, y si $g$ es la (restricción de) la métrica euclidiana, entonces un punto $p$ y su "opuesto" $q = -p$ no están unidas por una geodésica en $M$ .

Una variedad riemanniana es completa si cada geodésica está definida para todo el tiempo. (En términos generales, ninguna geodésica "encuentra una arista de $M$ en tiempo finito", o " $M$ no tiene borde"). Incluso en una variedad riemanniana completa, una geodésica suficientemente larga puede no ser minimizadora de longitud: Pensemos en un arco de círculo máximo en una esfera que subtiende más de la mitad de una "vuelta completa".

Una variedad riemanniana conectada $(M, g)$ se convierte en un espacio métrico (dotado de una métrica topológica) si, para los puntos $p$ y $q$ de $M$ definimos $d(p, q)$ para ser el mínimo de las longitudes de las curvas lisas a trozos de $p$ a $q$ . Cuando $M = \Reals^{n}$ y $g$ es la métrica euclidiana (riemanniana), las geodésicas son segmentos de línea (parametrizados a velocidad constante) y la distancia topológica se reduce a la distancia euclidiana (pitagórica). Sin embargo, en general, una métrica topológica en una variedad suave $M$ no surge así de una métrica riemanniana sobre $M$ .

Answer 3

Una métrica es una función que se utiliza para definir la distancia entre dos puntos. Normalmente se denota como $d(x,y)$ (siendo la distancia entre $x$ y $y$ ).

Para que tenga algún parecido con las distancias normales a las que estamos acostumbrados se requiere que tenga ciertas propiedades.

En primer lugar, la distancia entre dos puntos diferentes tiene que ser positiva. Es decir, si $x\ne y$ tendríamos $d(x,y)>0$ .

En segundo lugar requerimos que la distancia a sí mismo sea cero, es decir $d(x,x)=0$ .

En tercer lugar exigimos que se cumpla la desigualdad del triángulo, es decir $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ .

El concepto de métrica no depende en absoluto de la existencia de un sistema de coordenadas, por lo que es independiente de que se añada un sistema de coordenadas. Por ejemplo, la distancia entre Nueva York y Londres es la misma independientemente de que se utilice longitud+latitud como coordenadas o algún otro sistema de coordenadas.

Además, no es necesario que sea (basada en) una forma cuadrática, aunque es bastante frecuente que lo sea.

La forma cuadrática a la que te refieres (en geometría diferencial) no es toda la historia cuando se trata de la métrica. La forma cuadrática es sólo una propiedad local de la superficie, mientras que la distancia real es más bien una propiedad global. La distancia se toma entonces como la longitud del camino más corto entre los puntos y la forma cuadrática se utiliza localmente en la definición de la longitud del camino. Así, la distancia real ya no tiene que ser una forma cuadrática.

Answer 4

Esto está sacado directamente de la "Introducción a la Topología" de Greene y Gamelin, 2ª ed:

A métrica en un conjunto X es una función de valor real d en X $\times$ X que tiene las siguientes propiedades:

(1.1) $d(x,y) \geq 0$ $\ \forall \ x,y \in X$

(1.2) $d(x,y) = 0$ si y sólo si $x = y$

(1.3) $d(x,y) = d(y,x) \ \forall \ x,y \in X$

(1.4) $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z), \forall \ x,y,z \in X$

La idea de una métrica sobre un conjunto $X$ es una formulación abstracta de la noción de distancia en Espacio euclidiano . La interpretación intuitiva de la propiedad (1.4) es especialmente sugerente... En consecuencia (1.4) se denomina desigualdad del triángulo .

La idea principal es que las métricas son una forma de describir espacios que se asemejan al espacio euclidiano. Muchas superficies son no euclidiano pero colectores son localmente euclidianas por definición - por lo que son metrizable . En otras palabras, si se "amplía" un punto de una variedad, "parecerá" un espacio euclidiano.

Por ejemplo, una esfera tiene como coordenadas la longitud y la latitud, pero si te acercas, tienes mapas básicos tipo google que son planos y tienen como coordenadas el norte-sur (el eje y) y el este-oeste (el eje x).

Cuando preguntas "¿depende una métrica del sistema de coordenadas?", supongo que estás preguntando "¿puedes cambiar los valores de una métrica si transformas la base del espacio subyacente?". La respuesta es no - cambiar la base del espacio no cambia la estructura o forma de un espacio, sino la forma en que se definen los puntos y los vectores en relación con un origen - todos los intrínseco Los valores del espacio (longitud, distancia, ángulos, etc.) siguen siendo los mismos.

Por ejemplo, digamos que fijas una métrica y utilizas nuestro ejemplo de Google Maps. Si cambias el norte-sur por el este-oeste (tal vez hayas girado en algún lugar para que el mapa se desplace contigo), la distancia del viaje no es más corta ni más larga y los ángulos (relaciones entre posiciones fijas) tampoco han cambiado.

Dicho esto, hay muchas funciones que pueden clasificarse como métricas. Por ejemplo, es probable que estés más familiarizado con la función métrica euclidiana estándar (es decir, una línea recta). Sin embargo, cuando se trata de navegar por una ciudad, este enfoque en línea recta no es el mejor para comunicar los tiempos y las distancias reales de viaje. Por ello, existe algo que se denomina manhattan metric en el que se recorre en zig-zag las calles de una ciudad.

Hay muchas métricas de este tipo, pero todas satisfacen las cuatro propiedades mencionadas anteriormente, lo que nos permite adaptar sin problemas los teoremas del cálculo (donde la métrica euclidiana es estándar) a escenarios en los que otras métricas son más naturales (como las esferas con longitud y latitud).

Una vez más, una de las principales motivaciones para definir la métrica de forma tan abstracta es que nos permite pensar en espacios con la métrica euclidiana no estándar de una forma que nos permite aplicar fácilmente las técnicas del cálculo.

(No sé a qué te refieres con lo de la función cuadrática).

Answer 5

Métrica sobre el espacio $X$ (si $X \neq \emptyset$ ) es una función $d: X \times X \to \mathbb{R}$ para que

1.) $d(x,y) \geq 0$ y si $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x =y$ $\forall x,y \in X$

2.) $d(x,y) = d(y,x)$ $\forall x,y \in X$

3.) $d(x,y) \leq d(x,z) + d(y,z)$ $\forall x,y,z \in X$

Así que sí, depende del sistema de coordenadas que utilices. La métrica es específica de X y X es tu conjunto de coordenadas.

Una métrica que se encuentra a menudo es la norma uniforme .