Encontrar todas las permutaciones que conmuten con $\omega$ = (1 9 7 10 12 2)(4 11) 5 (3 6 8) en $S_{12}$

Question

Se me pide en este ejercicio para encontrar todas las permutaciones que se desplazan con $\omega$=(1 9 7 10 12 2 5)(4 11)(3 6 8) en $S_{12}$.

Lo que tengo hasta ahora: Podríamos escribir $x$(1 9 7 10 12 2 5)(3 6 8)=(1 9 7 10 12 2 5)(3 6 8)$x$, lo que significa que (1 9 7 10 12 2 5)(4 11)(3 6 8)=$x^{-1}$(1 9 7 10 12 2 5)(4 11)(3 6 8)$x$=(1x 9 x 7x 10x 12x 2x 5x)(4x 11x)(3x 6x 8x). Esto significa $x$ viajes con $\omega$ fib $x$ 'transferencias' uno de los distintos ciclos que construyen $\omega$ á sí mismo.

Hay $7\cdot 2\cdot 3$ formas de 'presente' $\omega$ haciendo caso omiso de la orden de la multiplicación del ciclo (debo caso omiso de ella?), cada uno de los cuales crea una clara desplazamientos de permutación si es construida por el algoritmo: 1x$\rightarrow$(1 9 7 10 12 2 5), 9x$\rightarrow$(1 9 7 10 12 2 5), et cetera. Así que todo se termina con $7\cdot 2\cdot 3$ permutaciones.

Supongo que lo que debo hacer es: (a) ¿es esto correcto? (b) dado que la pregunta nos quiere encontrar todas las permutaciones y no contar con ellas, tal vez hay más general de la "forma" para los desplazamientos de permutaciones?

Answer 1

Su razonamiento está bien, en mi opinión. $\sigma\in S_{12}$ viajes con $\omega$ si y sólo si $\sigma\omega\sigma^{-1} = \omega$. Desde allí se $7\cdot 2\cdot 3$ maneras de arreglar una representación de $\omega$ en forma $$ \sigma\omega\sigma^{-1} = (\sigma(1)\ \sigma(9)\ \sigma(7)\ \sigma(10)\ \sigma(12)\ \sigma(2)\ \sigma(5))\ (\sigma(4)\ \sigma(11))\ (\sigma(3) \ \sigma(6)\ \sigma(8)), $$ y a cada representación únicamente determina $\sigma$, hay exactamente $7\cdot 2\cdot 3$ elementos $\sigma\in S_{12}$ que conmuta con $\omega$.

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Aquí es una solución alternativa mediante el uso de la teoría del grupo de acciones para determinar el número de elementos de a $S_{12}$ que conmuta con $\omega$:

La pregunta para el centralizador $C(\omega)$$\omega$$S_{12}$. Ahora mira en el grupo de operación de $G$ sobre sí mismo por conjugación. A continuación, $C(\omega)$ es el estabilizador de la $\omega$. La órbita $O$ $\omega$ es la clase conjugacy de $\omega$$S_{12}$, que es el conjunto de todos los elementos de un mismo tipo de ciclo. El método de recuento estándar para las permutaciones de los rendimientos $$\left|O\right| = \frac{12!}{2\cdot 3\cdot 7}.$$

Ahora por la órbita-estabilizador-teorema de, $\left|C(\omega)\right| = \left|S_{12}\right|/\left|O\right| = 2\cdot 3\cdot 7$.