Menor valor de $(a+b)$

Question

¿Cuál puede ser el valor más pequeño de $(a+b)$, $a>0$ y $b>0$ donde $(a+13b)$ es divisible por $11$ y $(a+11b)$ es divisible por $13$?

Esto es lo que he hecho hasta ahora.

Tenemos

1) $a+ 13b = 11m$
2) $a + 11b = 13n

$b = \dfrac{11m - 13n}{2}$ , $a = \dfrac{169n - 121m}{2}$

Dado que $a, b > 0$, tenemos que

$11m - 13n > 0$ y $169n - 121m > 0$
$\implies 11\cdot13m - 13^2n > 0$ y $13^2n - 11^2m > 0$
$\implies 11\cdot13m > 13^2n > 11^2m$ $\implies (\frac{11}{13}) m > n > (\frac{11}{13})^2m$

¿Cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Igualmente $11 \vert (a+2b)$ y $13 \vert (a-2b)$.

Por lo tanto, $a+2b = 11m$ y $a-2b = 13n$.

Esto nos da que $$a = \dfrac{11m+13n}{2} = 6(m+n) + \dfrac{n-m}{2}$$ $$b = \dfrac{11m-13n}{4} = 3(m-n) - \dfrac{m+n}4 $$ Esto significa que $2 \vert (n-m)$ y $4 \vert (m+n)$. Por lo tanto, $m+n = 4 k_1$ y $n-m = 2k_2$. Por lo tanto, $$a = 24k_1 + k_2 > 0$$ y $$b = -6k_2-k_1 > 0$$ Por lo tanto, $k_2 > -24 k_1$ y $k_2< - \dfrac{k_1}6$.

$a+b = 23k_1 - 5k_2 \in \left(23 \dfrac56 k_1,143k_1\right)$.

Por lo tanto, para que $a+b$ sea mínimo, nuestra primera opción sería $k_1 = 1$.

Si $k_1 = 1$, entonces $-24 < k_2 < -\dfrac16$.

Dado que $a+b$ es $-5k_2$, queremos que $k_2$ tome un valor negativo pequeño, es decir, $k_2$ debería estar cerca de cero y ser negativo. Por lo tanto, $k_2 = -1$.

Esto nos da que $$a=23, b=5 \text{ y }a+b = 28$$

Answer 2

$\rm\begin{eqnarray}{\bf Pista}\rm\quad a+13b &=&\rm 11m &\:\Rightarrow\:&\rm 13a+169b &=&\rm 143m\\ \rm a+11b &=&\rm 13n &\:\Rightarrow\:&\rm 11a+121b &=&\rm 143n\\ && &\:\Rightarrow\:&\rm\ \ 2a+\ \ 48b &=&\rm 143(m-n)\ \ \ through\ la\ resta\ de\ la\ primera\ operación\ con\ la\ segunda \end{eqnarray}$

De esta forma $\rm\:a + 24b = 143c.\:$ Su solución con $\rm\:a+b\:$ mínimos es $\rm\:(a,b) = (23,5),\:$ ya que todas las otras soluciones surgen al sumar a $\rm\:(a,b)\:$ múltiplos no negativos de $\rm\:(-1,6)\:$ o $\rm\:(24,-1),\:$ aumentando $\rm\:a+b,$ viz.

$$\begin{eqnarray}\rm a+24b = 143&\:\Rightarrow\:&\rm (a,b) = (23,\ \ 5),\ (47,\ \ 4),\ (71,\ \ 3),\ \ldots\\ \rm a+24b = 286&\:\Rightarrow\:&\rm (a,b) = (22,11),\ (46,10),\ (70,\ \ 9),\ \ldots\\ \rm a+24b = 429&\:\Rightarrow\:&\rm (a,b) = (21,17),\ (45,16),\ (69,15),\ \ldots\\ \cdots && \cdots \end{eqnarray}$$ En esta tabla de soluciones, sumar $\rm\:(24,-1)\:$ se mueve hacia la derecha, y sumar $\rm\:(-1,6)\:$ se mueve hacia abajo. Sin embargo, mover a la izquierda o arriba de la frontera al restar estos términos resulta en una solución con $\rm\:a\:$ o $\rm\:b\:$ negativo.