Dado un grupo finito G, me interesa saber el tamaño más pequeño de un conjunto X tal que G actúa fielmente en X. Es fácil para abelian grupos - descomponer en cíclico de los grupos de primer poder de la orden y añadir sus tamaños. Y la no-abelian grupo de orden pq (p, q primos, p = 1 mod p) se integra en el grupo simétrico de grado p, como se muestra aquí: www.jstor.org/stable/2306479.
Cómo se sabe mucho acerca de este problema en general?
Es difícil encontrar este número arbitrario de grupos finitos, pero muchas de las familias han sido resueltos. Un poco temprano el papel que ha motivado una gran cantidad de trabajo en esta área es:
Johnson, D. L. "un Mínimo de permutación de representaciones de grupos finitos." Amer. J. Math. 93 (1971), 857-866. MR 316540 DOI: 10.2307/2373739.
Este papel se clasifica a los grupos para que el regular de permutación de representación es la mínima fieles permutación representación cíclica (del primer poder de la orden, K4, o generalizada de cuaterniones) y algunos de los resultados en nilpotent grupos (mejorado en posteriores artículos).
El mínimo de permutación de grados de la finitos simples grupos son conocidos a partir de:
Cooperstein, Bruce N. "grado Mínimo para una permutación de la representación de un clásico del grupo." Israel J. Math. 30 (1978), no. 3, 213-235. MR 506701 DOI: 10.1007/BF02761072.
Este documento sólo encuentra los grados. Una descripción más completa de la permutación de las representaciones se dan en:
Grechkoseeva, M. A. "En un mínimo de permutación representaciones de la clásica simple de los grupos". Siberiano De Matemáticas. J. 44 (2003), no. 3, 443-462 MR 1984704 DOI: 10.1023/A:1023860730624.
Hay una gran cantidad de temas relacionados con el mínimo de permutación grados. Voy a esbozar brevemente de ellos a continuación, hágamelo saber si los intereses y puedo dar referencias o descripciones detalladas:
El grado mínimo de un subgrupo nunca es mayor que el grado mínimo de la matriz del grupo, pero el grado mínimo de un cociente de grupo puede ser mucho, mucho más grande que la del original. Esto plantea problemas computacional teoría de grupo, ya que el cociente de los grupos puede ser difícil de representar. Algunos cocientes son fáciles de representar, y esto ha tenido un impacto significativo en la CGT en los últimos 10 años o así.
Encontrar un mínimo de permutación representaciones de cobertura de los grupos puede ser difícil, y aquí creo que los resultados son mucho menos completa. Básicamente, lo que quieres son grandes subgrupos no contiene normal subgrupos. En una cubierta de grupo Z(G) está contenida en realidad muy pocas de las "buenas decisiones". Esto es debido a que está contenida en Φ(G), el Frattini, el subgrupo de intersección de la máxima subgrupos. Uno tiene que abandonar utilizando el máximo de los subgrupos (al menos si Z(G) es cíclico del primer poder de la orden), y por lo que el grado mínimo puede aumentar drásticamente.
Un mínimo de grados de la primitiva de permutación de grupos es un tema con un sabor diferente (en lugar de familias específicas de los grupos, es más, de las interacciones entre las propiedades del grupo), pero se sabe mucho. Técnicas similares se utilizan para describir el comportamiento asintótico de un mínimo de grados de arbitraria de las familias de grupos finitos, y bastante potente resultados están disponibles allí.
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