Mostrar que $m+3$ y $m^2 + 3m +3$ no puede ser cubos perfectos.

Question

Mostrar que $m+3$ y $m^2 + 3m +3$ no puede ser cubos perfectos.

He hecho tanta Álgebra en esto, pero sin suerte. Trató de multiplicar, factoring, etc.

Answer 1

Si lo fueran, $$(m+3)(m^2+3m+3)=(m+2)^3+1$ $ sería un cubo perfecto. No hay muchos cubos perfectos que diferencian por $1$:
significa el $n^3-(m+2)^3=1$ $m+2-n\mid1$ y $n=m+2\pm1$, reducir la ecuación a dos cuadráticas: $3(m+2)^2+3(m+2)=0$ y $-3(m+2)^2+3(m+2)-2=0$. Esto demuestra que el único valor que la declaración no es $m=-2$.

Answer 2

La primera observación es que $m=-2$ es un contraejemplo. Probablemente $m$ debe ser no negativo.

Asumir que $m+3=n^3$ es un cubo perfecto. $n>1$ Y $$ m ^ 2 + 3 m + 3 = n ^ 6-3n ^ 3 + 3. $$ Esto es estrictamente menor que $n^6=(n^2)^3$. El cubo anterior debajo de este es $$ (n ^ 2 - 1) ^ 3 = n ^ 6-3n ^ 4 + 3n ^ 2-1, $$ que es $<n^6-3n^3+3$ $n\ge2$. Por lo tanto $m^2+3m+3$ es estrictamente entre dos cubos perfectos consecutivos y no puede ser un cubo perfecto de sí mismo.

Answer 3

La declaración es falsa: $m=-2$, tenemos $m+3=m^2+3m+3=1$.