Probando $ \liminf x_n=2 $

Question

Dejemos que $ {x_n} $ sea una secuencia real, definida por, $x_n = \begin{cases} 2+\frac{1}{n}, & \text{if $n=m^{2}$ for some $ m\in \mathbb{N} $} \\ n+1, & \text{otherwise.} \end{cases}$

Aquí tengo que demostrar que $ \liminf x_n=2 $ . Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Prueba: Dejemos que $ \epsilon >0 $ . Obsérvese que para cada $ n\in \mathbb{N} $ , $n+1>2-\epsilon $ y $2+\frac{1}{n}>2-\epsilon $ . Por lo tanto, para cada $ n\in \mathbb{N} $ , $ x_n>2-\epsilon $ .

Ahora dejemos que $ m\in \mathbb{N} $ y elija $ k\in \mathbb{N} $ tal que $k>\max \left\lbrace m,\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\right\rbrace $ . Poner $n=k^{2}$ .

Entonces $ n\in \mathbb{N},n>m $ y $ x_n=x_{k^{2}}=2+\frac{1}{k^{2}}<2+\epsilon $ .

Por lo tanto, hemos demostrado que para cada $ n\in \mathbb{N} $ , $ x_n>2-\epsilon $ y para cada $ m\in \mathbb{N} $ existe $ n\in \mathbb{N} $ que $ n>m $ y $ x_n<2+\epsilon $ . Por lo tanto, tenemos $ \liminf x_n=2 $ .