convergiendo al coseno por iteración

Question

¿En qué sentido (si es que lo hace) la iteración $x \mapsto 2x^2 - 1$ convergen en $ \cos 2^n x$ en el intervalo de unidades [-1,1]?

Uno podría tratar de tramar en Mathematica:

y = x;
Table[y = 2 y^2 - 1; y, {k, 1, 5}]
Plot[%, {x, -1, 1}]

Y obtienes algunas tramas que se asemejan a los cosenos de frecuencia creciente. ¿Se puede hacer esto riguroso?

Esto está relacionado con una pregunta similar que hice .

Answer 1

La recurrencia $x_{n+1}=2x_n^2-1$ con $x_0$ en $[-1,1]$ puede traducirse en $x_0=\cos \alpha_0$ y $\cos\alpha_{n+1}=\cos 2\alpha_n=...=\cos 2^n \alpha_0$ .

No se puede decir que la iteración converge a $\cos 2^n \alpha_0$ porque la convergencia significaría tomar el límite como $n \to \infty$ y para $\alpha_0 \neq 0$ ese límite puede no existir.

Aun así, la recurrencia significa duplicar el argumento en una función coseno.