Extensión de un mapa lineal

Question

Para cualquier $x \in X$, definir el conjunto $\mathcal{F}(X) = \overline{span \{ \delta_x : x \in X \}}$ donde $\delta_x(f)=f(x)$ para todos los $f \in$ $Lip_0(X)$.

El conjunto Labio$_0(X)$ es el conjunto de todos los reales valores de funciones de Lipschitz que se desvanecen en $0$.

Tenga en cuenta que $\delta_x$ es una evaluación funcional en el Labio$_0(X)$.

Supongamos $X$ $Y$ son espacios de Banach. Deje $L:X \rightarrow Y$ ser un De Lipschitz mapa tal que $L(0)=0$. Entonces existe un único lineal mapa de $\hat{L}: \mathcal{F}(X) \rightarrow \mathcal{F}(Y)$ tal que $\hat{L}\delta_X = \delta_YL$

La declaración anterior es el Lema $2.2$.

La siguiente es su prueba:

El lineal mapa de $L^\# : Lip_0(Y) \rightarrow Lip_0(X)$ definido por $L^\#(F) = F \circ L$ es pointwise-a-pointwise continua, por lo tanto, no es lineal en el mapa de $\hat{L}$ entre el preduals tal que $\hat{L^*} = L^\#$. Está claro que $\| L^\# \| = Lip(L)$, e $\| \hat{L} \| = \| \hat{L^*} \| = \| L^\# \|$. Las otras afirmaciones son claras.

Pregunta:

$(1)$ A mostrar el mapa $L^\#$ es pointwise-a-pointwise continua, agrego que si $\lim_{n \rightarrow \infty}{F_n}=F$,$ \lim_{n \rightarrow \infty}{L^\#F_n}= L^\#F$?

$(2)$ ¿Por qué existe un lineal mapa de $\hat{L}$ después de mostrar que el $L^\#$ es de punto a pointwise continua?

$(3)$ Es que un error tipográfico en $\| L^\# \| = Lip(L)$? Creo que debería ser $\| L^\# \| = \| L \|_{Lip}$. Después de eso, ¿cómo demostrar que $\| L^\# \| = \| L \|_{Lip}$?

$(4)$ Cómo mostrar que el mapa de $\hat{L}$ es único?

Answer 1

La siguiente no responder a sus preguntas, más bien es una alternativa (más claro?) prueba a lema 2.2, sin necesidad de preduals.

En primer lugar, tenga en cuenta que $Lip_0 (X)$ es un espacio de Banach con la norma dada por $\| f \| = Lip(f)$ donde $Lip(f) = \inf \{ M > 0 \mid |f(x) - f(y)| \le M \| x - y \| \ \forall x, y \in X \}$ (la constante de Lipschitz de $f$). Esto significa que en esta topología $f_n \to f \iff Lip(f_n - f) \to 0$.

Tenga en cuenta que si $f_n, f \in Lip_0 (X)$ $f_n \to f$ (en la topología dada por la mencionada norma), y $x \in X$,$| (f_n - f) (x) | = | (f_n - f) (x) - (f_n - f) (0) | \le Lip(f_n - f) \| x - 0 \| = Lip(f_n - f) \| x \| \to 0$, que puede ser reescrita como $\delta _x (f_n) \to \delta _x (f)$, lo $\delta _x \in Lip_0 (X) ^*$, o, equivalentemente,$\mathcal F (X) \subset Lip_0 (X) ^*$.

Definir $\tilde L : Lip_0 (X) ^* \to Lip_0 (Y) ^*$ $\tilde L (\omega) (f) = \omega ( f \circ L )$ (donde$\omega \in Lip_0 (X) ^*$$f \in Lip_0 (Y)$). La linealidad es clara. Vamos a mostrar la continuidad: si $\omega _n \to \omega$ en la norma, a continuación,$\omega _n (g) \to \omega (g) \ \forall g$; teniendo en $g = f \circ L$ cierra el argumento. Deje $\hat L = \tilde L \big| _{\mathcal F (X)}$. Queda por demostrar que $\text{range} \hat L \subset \mathcal F (Y)$.

Tenga en cuenta que $\hat L (\delta _x) (f) = \delta _x (f \circ L) = f(L(x)) = \delta _{L(x)} (f)$ o, equivalentemente,$\hat L (\delta _x) = \delta _{L(x)} \in \mathcal F (Y)$, que fácilmente se supone que $\hat L (\mathcal F (X)) \subseteq \mathcal F (Y)$ mediante el uso de combinaciones lineales de evaluación funcionales y, a continuación, tomando los límites de las secuencias de tales combinaciones.

La aplicación de $\hat L \circ \delta _X = \delta _Y \circ L$ en un punto arbitrario $x \in X$ da $\hat L (\delta _x) = \delta _{L(x)}$ que ha sido visto ser verdad en el párrafo anterior, por lo que la conmutatividad de la propiedad es true. Para mostrar la singularidad, asumir que existe $K \ne \hat L$ con las mismas propiedades como $\hat L$. En particular, desde la $K \circ \delta _X = \delta _Y \circ L$, obtendría $K (\delta _x) = \delta _{L(x)} = \hat L (\delta _x)$, por lo que (por la linealidad) $K - \hat L = 0$ en el lineal (pero no topológico todavía!) lapso de $\{ \delta _x \} _{x \in X}$. Desde $\hat L$ ha sido probado continua y $K$ es asumido continuo, $K - \hat L$ es un operador lineal continuo, por lo que puede ser el único ampliado de la lineal lapso de $\{ \delta _x \} _{x \in X}$ $\mathcal F (X)$por la costumbre de densidad relacionadas con el argumento, y ya que se extiende $0$, esta extensión también se $0$, lo $K = \hat L$.