Descomposición espectral de una matriz normal

Question

Me gustaría encontrar la descomposición espectral de $A$ :

$$A = \begin{pmatrix} 2-i & -1 & 0\\ -1 & 1-i & 1\\ 0 & 1 & 2-i \end{pmatrix}$$

es decir $A=\sum_{i}\lambda_i P_i$ donde $P_i$ son las matrices de coordenadas (en la base estándar) de las correspondientes transformaciones ortogonales en la descomposición espectral de $T_A$ y $\lambda_i$ son los valores propios.

Empecé mostrando que $A$ es normal, pan comido.

A continuación, encontramos los valores propios de $A$ esos son: $\lambda_1 = 2-i, \lambda_2 = 3-i, \lambda_3 = -i$ . Intenté usar estos hechos conocidos del teorema espectral:

• $A=(2-i)P_1+(3-i)P_2-iP_3$
• $I=P_1+P_2+P_3$
• $\forall i\neq j, P_i P_j=0$
• $P^*_i=P_i$

El único ejemplo que tengo en mi libro los utiliza, pero no he conseguido que funcione aquí. Parece que los términos no se cancelan.

¿Qué más puedo probar?

Answer 1

Utilizando el teorema de descomposición primaria (PDT): Encontrar el polinomio mínimo de $A$ . Claramente eso sería $m_A(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)$ . Definir $f_i(x)=\frac{m_A(x)}{(x-\lambda_i)}$ . Observe que $f_1,...,f_3$ son coprimas (es decir $gcd(f_1,f_2,f_3)=1$ ). Por lo tanto, se pueden encontrar polinomios $g_1,g_2,g_3$ tal que $g_1f_1+g_2g_2+g_3f_3=1$ . \ Por último, defina $P_i=g_i(A)f_i(A)$ . ¡Compruebe por qué funciona!

Answer 2

El siguiente resultado es útil

"Una matriz es normal si y sólo si es unitariamente similar a una matriz diagonal, y por tanto cualquier matriz A que satisfaga la ecuación $A^{*}A=AA^{*}$ es diagonalizable". Es decir

$$ \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^* . $$

El siguiente paso es encontrar los vectores propios $v_i$ . Una vez hecho esto, entonces puedes obtener las matrices $P_i$ tal que

$$ P_i = v_iv^{*}_i, $$

que da,

$$ A=(2-i)P_1+(3-i)P_2-iP_3 = (2-i)v_1v^{*}_1+ (3-i)v_2v^{*}_2-i v_3v^{*}_3. $$

Nota: Debería comprobar que $P_i,i=1,2,3$ satisfacen las propiedades que ha enumerado anteriormente.

Vectores propios: He calculado los vectores propios con Maple, que corresponden a los valores propios que ya has calculado $2-i,3-i,-i$ respectivamente

$$v_1= \left[ \begin {array}{c} 1\\0 \\1 \end {array} \right ], v_2=\left[ \begin {array}{c} -1\\1 \\1 \end {array} \right ], v_3=\left[ \begin {array}{c} -1\\-2 \\1 \end {array} \right ] $$

Answer 3

También es posible calcular las matrices de proyección sin encontrar cada vector propio (correspondiente a cada valor propio) de la matriz A. El truco consiste en utilizar el Teorema de Caley-Hamilton. Primero hay que encontrar la descomposición en fracción parcial de 1/charpoly(A,x), donde charpoly(A,x) es el polinomio característico de la matriz A factorizado en el campo complejo como factorr lineal.