¿Por qué$L=\mathbb{Q}(\sqrt[1]{2})\cup\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2})\cup\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\cup\cdots$ es un campo?

Question

El título ya lo dice:

¿Por qué$L=\mathbb{Q}(\sqrt[1]{2})\cup\mathbb{Q}(\sqrt[2]{2})\cup\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\cup\cdots$ es un campo?

La sugerencia proporcionada en mi libro de texto es:$\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})\cup\mathbb{Q}(\sqrt[m]{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[mn]{2})$, pero esto realmente no me lleva a ninguna parte. En realidad, no tengo ni idea de qué hacer. ¿Podría alguien aclarar o dar alguna pista por favor?

Answer 1

Suponga que usted toma cualquiera de los dos elementos de la $x, y\in L.$ Esto significa que hay algunos enteros positivos $m$ $n$ tal que $x\in \mathbb{Q}(\sqrt[m]{2})$$y\in \mathbb{Q}(\sqrt[n]{2})$.

A partir de la sugerencia en su libro de texto (que escribió en su pregunta), esto implica que $x,y\in \mathbb{Q}(\sqrt[mn]{2}).$

Ahora, su objetivo final es demostrar que el $x+y$ $xy$ son elementos de $L$ así (y que $L$ es cerrado bajo la recíproca para distinto de cero elementos).

Hay alguna información acerca de $\mathbb{Q}(\sqrt[mn]{2})$ que usted puede usar lo que podría ayudar aquí (desde $x$ $y$ son los elementos de este conjunto)?

Answer 2

El campo más pequeño que contiene$K(a^{1/n})$ y$K(a^{1/m})$ es$K(a^{1/n},a^{1/m}) = K(a^{1/lcm(n,m)})$