¿Existe un número entero $y>0$ tal que para todo $x>y$ Al menos $4$ de $x+1, x+2, x+3, x+4, x+5$ son divisibles por un primo mayor que $5$ ?

Question

Según tengo entendido, la respuesta a esta pregunta es sí.

Agradecería que alguien aportara un contraejemplo o diera detalles sobre cómo resolver esta cuestión.

Mi opinión es que esto es cierto para $y > 80$

Esto es lo que pienso:

1. Podemos suponer que hay al menos un entero en la secuencia $x+i$ tal que $x+i = 2^a3^b5^c$ donde $a,b,c \ge 0$ y $a+b+c > 0$ y $1 \le i \le 5$

2. Por lo tanto, estoy tratando de demostrar que no hay solución para $x>24$ donde $2^a3^b5^c + d = 2^e3^f5^g$ y $1 \le d \le 5$

3. Dejemos que $f=gcd(2^a3^b5^c,2^e3^f5^g)$ y sólo tenemos que ocuparnos de las siguientes formas:

Caso 1: $2^a \pm 1 = 3^b5^c$ donde $a,b,c > 0$

• Desde $a > 1$ sabemos que $b$ es incluso desde $(-1)^b(1) \equiv \pmod 4$

• Desde $a > 2$ sabemos que $c$ es incluso desde $(1)^{\frac{b}{2}}(-3)^c \equiv 1 \pmod 8$

• Pero entonces $(3^{\frac{b}{2}}5^{\frac{c}{2}} + 1)(3^{\frac{b}{2}}5^{\frac{c}{2}} - 1) = 2^a$ que es imposible para $a > 1$

• Veamos $2^a-1 = 3^b5^c$

• No hay solución para $a$ es incluso porque $(2^{\frac{a}{2}} - 1)(2^{\frac{a}{2}} + 1)= 3^b5^c$ lo cual es imposible ya que $b,c > 1$

• No hay solución para $a$ es impar porque $(-1)^a - 1 \not\equiv 0 \pmod 3$

Caso 2: $3^a \pm 1 = 2^b5^c$ donde $a,b,c > 0$

• Comencemos $3^a+1 = 2^b5^c$

• $a$ no puede ser impar porque sólo $(-2)^{4x+2} + 1 \equiv 0 \pmod 5$

• $a$ no puede ser ni siquiera ya que $(-1)^a + 1 \not\equiv 0 \pmod {10}$

• Veamos $3^a - 1 = 2^b5^c$

• $a$ no puede ser ni siquiera ya que $(3^{\frac{a}{2}}-1)(3^{\frac{a}{2}}+1) = 2^b5^c$ es imposible para $b > 5,c>0$ o para $b >0,c>1$

• $a$ no puede ser impar ya que sólo $(-2)^(4x) - 1 \equiv 0 \pmod 5$

Caso 3: $5^a \pm 1 = 2^b3^c$ donde $a,b,c > 0$

• Veamos $5^a + 1 = 2^b3^c$

• Sabemos que si hay una solución que $b=1$ desde $(1)^a + 1 \equiv 2 \pmod 4$

• Desde $c>1$ se deduce que $a=6k+3$ desde $5^a \equiv -1 \pmod 9$

• $5^{6k+3}+1\equiv 0 \pmod 7$

• Pero $2^b3^c \not\equiv 0 \pmod 7$

• Veamos $5^a-1 = 2^b3^c$

• $a$ no puede ser ni siquiera ya que $(5^{\frac{a}{2}}-1)(5^{\frac{a}{2}}+1) = 2^b3^c$ es imposible para $b>1,c> 0$

• $a$ no puede ser impar ya que $(-1)^a-1 \not\equiv 0 \pmod 6$

Caso 4: $2^a \pm 1 = 3^b$ donde $a,b > 0$

Caso 5: $2^a \pm 1 = 5^b$ donde $a,b > 0$

Caso 6: $3^a \pm 1 = 5^b$ donde $a,b > 0$

Los casos 4,5 y 6 son imposibles para $x > 24$ por la prueba detrás de la conjetura de Catalán.

---

Edición: Eric Towers ha señalado que $\{80,81\}$ no tienen un primo mayor que $5$ . Parece que mi lógica en el caso 2 no tuvo en cuenta $(3^2 - 1)(3^2 + 1) = 2^4*5$

He actualizado mi suposición a $y > 80$ . Esto elimina el ejemplo del contador. Pasaré tiempo leyendo sobre los números suaves y dedicando tiempo a verificar que $80$ es el valor correcto para $y$ . Si alguien tiene una formulación precisa, será muy apreciado :-)

Answer 1

Tl;dr: Si $x+1 \geq 321$ entonces los cinco enteros consecutivos a partir de $x+1$ tienen como máximo un miembro de 5 lisos.

Basta con preguntar con qué frecuencia los números de 5 lisos están cerca. Si hay un par de números 5-suaves con diferencia < 5, entonces ningún número entero consecutivo que contenga el par puede satisfacer el patrón de divisibilidad propuesto. Un número 5-suave es un número sin factor primo mayor que 5.

Størmer ha demostrado que sólo hay un número finito de números consecutivos de 5 lisos. Más información sobre este tipo de cuestiones aquí . Pillai conjetura que para los fijos $A$ , $B$ y $C$ , $A x^n - B y^m = C$ sólo tiene un número finito de soluciones $(x,y,m,n)$ . Erick Wong En su respuesta a este problema, ha demostrado una reducción de la pregunta publicada a esta forma, siendo dicha reducción una lista (más o menos grande) de dichos polinomios con exponente mayor que tres. De hecho, se trata de formas binarias irreducibles de grado tres, por lo que Teorema de Thue y cada una tiene como mucho un número finito de soluciones. (Estrictamente, no todas las formas de la lista bruta son irreducibles, pero esto no es un obstáculo). Thue ha demostrado que cada ecuación tiene a lo sumo un número finito de soluciones. La reducción de Wong muestra así que hay un número finito de pares de números 5-suaves que difieren en menos de 5.

Actualización: 20140410 Se ha añadido un resumen extremo en la parte superior. Los siguientes párrafos y el código con los resultados de la solución PARI/GP de muchas ecuaciones de Thue, sustituye a los párrafos siguientes.

En lugar de trabajar mediante una reducción del número de ecuaciones, utilizamos un código muy rápido en PARI-GP (2.7.0) para resolver el problema rápidamente. El código

{ for (a2 = 0, 2,     
    for (a3 = 0, 2, 
      for (a5 = 0, 2, 
        for (b2 = 0, 2, 
          for (b3 = 0, 2, 
            for (b5 = 0, 2, 
              ti = thueinit(2^a2*3^a3*5^a5*x^3 - 2^b2*3^b3*5^b5, 1);
              for (d = 1, 4, 
                str = Strprintf("[% d, % d, % d] :  % s ", 
                  2^a2*3^a3*5^a5, 2^b2*3^b3*5^b5, d, thue (ti, d));
                print (str);
                write ("some-output-file.txt", str);
 ) )))))) }

resuelve las ecuaciones de Thue que nos interesan en pocos segundos. (Tenga en cuenta que, por defecto, el thueinit () establece el estado interno para buscar soluciones asumiendo el RH generalizado. Hemos dado la opción de no hacer esta suposición optimista. En consecuencia, el conjunto de soluciones encontradas es incondicionalmente exhaustivo). De las 2916 ecuaciones, sólo 304 tienen soluciones y la unión de esos conjuntos contiene 334 pares (no todos distintos). Ejemplos (los pares ordenados son $(x,y)$ ): $$ 1 x^3 - 1 y^3 = 1 : \{(0,-1),(1,0)\} $$ $$ 1 x^3 - 3 y^3 = 3 : \{(0,-1),(3,2)\} $$ Los pares de enteros lisos cercanos producidos por estas soluciones se repiten con frecuencia. Recogiendo los pares, ordenándolos, e ignorando los enteros negativos, las numerosas ecuaciones dan el siguiente conjunto de candidatos (algunos de los cuales son espurios):

$\{ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (4,8), (5,6), (5,8), (5,9), (6,8), (6,9), (6,10), (8,9), (8,10), (8,12), (9,10), (9,12), (10,12), (12,15), (12,16), (15,16), (15,18), (16,18), (16,20), (18,20), (20,24), (24,25), (24,27), (25,27), (27,30), (30,32), (32,36), (36,40), (45,48), (48,50), (50,54), (60,64), (72,75), (80,81), (96,100), (125,128), (160,162), (240,243), (320,324), (6859,6860), (13718,13720), (20577,20580), (27436,27440) \}$

Salvo los cuatro últimos pares, esto coincide con la lista anterior (véase más abajo), que se generó mediante el cálculo por fuerza bruta de números 5-suaves con exponentes inferiores a 200. Los cuatro últimos pares son soluciones espurias porque $6859=19^3$ , $6860=2^2 \cdot 5 \cdot 7^3$ y los tres pares siguientes son este par multiplicado por $2$ , $3$ y $4$ . (Curiosamente, sólo 7 y 19 aparecen como factores espurios en cualquiera de las soluciones generadas por la masa de polinomios).

La salida del código PARI-GP fue analizada por el código de Mathematica 9.0

Module[{ inFile,   lines, nonempty, instances  },
  inFile = StringSplit[ Import["some-output-file.txt"], "\n" ];
  lines = ToExpression[ StringReplace[
     "{" <> # <> "}", {"[" -> "{", "]" -> "}", ":" -> ","}]] & /@ inFile;
  Print["Total equations: ", Length[lines]];

  nonempty = Select[lines, #[[2]] =!= {} &];
  Print["Satisfiable equations: ", Length[nonempty]];

  (* Switch from equation indexed to per-solution lists. *)
  Print["Total solutions: ", Length[Flatten[nonempty[[All, 2]], 1]]];

  instances[{eqn_, pairs_}] := 
     {eqn[[1]]*#[[1]]^3, eqn[[2]]*#[[2]]^3} & /@ pairs;

  Select[Split[Sort[
     Sort /@ Flatten[instances /@ nonempty, 1]
     ]][[All, 1]],
     #[[1]] > 0 &
  ]
]

generando sólo una ligera diferencia sintáctica con respecto a la lista anterior.

Por lo tanto...

• ... saben que sólo hay un número finito de soluciones a las ecuaciones diofantinas exponenciales que se satisfacen por contraejemplos al problema de los 5 números lisos consecutivos.
• ... han generado el conjunto completo de soluciones de las relajaciones polinómicas de las ecuaciones exponenciales. Esto introdujo sólo un puñado de soluciones espurias.
• ... han eliminado las soluciones espurias.
• ... demostró que el conjunto de soluciones completo es el que se encontró mediante la generación previa directa (pero no demostrablemente completa) de pequeños enteros 5-suaves.

Descartado 20140410 comienza aquí : Desgraciadamente, aunque podemos demostrar que cada elemento de la lista de ecuaciones tiene, como mucho, un número finito de soluciones, parte del método de solución general se reduce a comprobar laboriosamente cuáles de un conjunto de soluciones potenciales son soluciones reales. Los límites de los tamaños de estos conjuntos son bastante grandes, por lo que esto resulta poco práctico incluso para tamaños modestos de los coeficientes. Basta con $45x^n - y^n = 1$ no es fácil de disponer (en Mathematica 9.0). Las ecuaciones con coeficientes $>100$ Por ejemplo, $900x^n - y^n = 4$ son probablemente inviables en la actualidad.

Algunos pares de números pequeños de 5 lisos que difieren en menos de 5, saltando el continuo cercano hasta 27: {27,30}, {30,32}, {32,36}, {36,40}, {45,48}, {48,50}, {50,54}, {60,64}, {72,75}, {80, 81}, {96,100}, {125, 128}, {160, 162}, {240, 243}, {320, 324}. Puede haber más pares. Puede que no. (No hay ningún otro con potencias de 2, 3 y 5 inferiores a 200).

Edición 20140326: Se ha eliminado la primera frase, errónea, "La cuestión de si incluso $2^m - 3^n = 5$ sólo finitamente muchas veces, una especialización de la conjetura de Tijdeman generalizada, sigue abierta", y el resto del primer párrafo, sustituyéndolo en gran parte por el segundo párrafo, arriba. Tijdeman ha demostrado que la frase citada es falsa y Erick Wong tenía razón al insistir en ello.

Answer 2

Si se desentrañan las definiciones, se encontrará, como dijo Eric Towers, que en realidad se trata de la brecha mínima entre $r$ -Números lisos (también conocidos como friables). Este otro reciente Pregunta sobre el MSE cita un estudio de Tijdeman ( enlace ) que contiene un extracto relevante:

...y en 1945 por Skolem para dar un algoritmo para determinar todas soluciones de ciertas ecuaciones de la forma $a_1^{m_1} \cdots a_k^{m_k} - b_1^{n_1} \cdots b_l^{n_l}= c$ en números enteros positivos $m_1,\ldots,m_k,n_1,\ldots,n_l$ donde $a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_l,c$ se dan enteros positivos. La finitud del número de soluciones había sido demostrada por Pólya en 1918, quien aplicó un tercer tipo de métodos.

Una pequeña objeción es que dice "enteros positivos" en lugar de no negativos, pero esto podría ajustarse inflando los conjuntos $\{a_1,\ldots,a_k\}$ y $\{b_1,\ldots,b_l\}$ y multiplicando $c$ por una constante.

Permítanme aprovechar esta oportunidad para dar una justificación más completa de la afirmación específica de esta pregunta, con algunas indicaciones que deberían ayudar a la OP a acotar el valor exacto. En concreto, para cualquier $d \ne 0$ sólo hay finamente muchas soluciones para $2^{m_1} 3^{m_2} 5^{m_3} - 2^{n_1} 3^{n_2} 5^{n_3} = d$ . Aplicando esto a $d=1,2,3,4$ Esto significa que todo lo que es suficientemente grande $5$ -Los números frágiles deben ser al menos $5$ aparte, lo que creo que responde directamente a la pregunta original.

La herramienta clave es Teorema de Thue que sustituye el papel de las ecuaciones de Pell en la demostración del teorema de Størmer, combinado con el "truco tonto" que mencioné en el otro hilo. Sea $S$ sea el conjunto finito $\{2^a 3^b 5^c: 0\le a,b,c \le 2\}$ de $27$ elementos. Entonces cada solución de $2^{m_1} 3^{m_2} 5^{m_3} - 2^{n_1} 3^{n_2} 5^{n_3} = d$ también es una solución para $r x^3 - s y^3 = d$ para algunos $r,s \in S$ (donde $rx^3 = 2^{m_1} 3^{m_2} 5^{m_3}$ y $sy^3 = 2^{n_1} 3^{n_2} 5^{n_3}$ ).

Por lo tanto, basta con demostrar que $rx^3 - sy^3 = d$ sólo tiene un número finito de soluciones para un $r,s \in S$ y $d \ne 0$ . Por nuestra elección de $S$ , si $r \ne s$ entonces $r/s$ no tiene una raíz cúbica racional, por lo que $rx^3-sy^3$ es irreducible (siendo de grado $3$ sin raíces) y el teorema de Thue nos da esto. Si $r = s$ entonces esto se reduce a demostrar que $x^3 - y^3 = d$ tiene un número finito de soluciones, lo que se deduce del hecho de que $(x+1)^3 - x^3 \to \infty$ como $x$ aumenta.

Desde el punto de vista computacional, el teorema de Thue es efectivo (también lo es el límite mucho más sencillo de la frase anterior) y Pari/GP contiene un solucionador de ecuaciones de Thue. Si tienes una inclinación por la programación (o conoces a alguien que la tenga), podrías simplemente agitar el $4\cdot 27^2$ (como máximo) posibilidades de encontrar el valor exacto de $y$ en su pregunta.

Answer 3

...no hay tal $y$ existe. Supongamos lo contrario, y dejemos que $p>5$ sea un primo de este tipo, entonces $p|x+i$ y $p|x+(i+1)$ para alguna i, $1<=i<5$ Por lo tanto $p|(x+i+1)-(x+i)$ o $p|1$ , una contradicción...