¿Quién definió primero conjuntos abiertos en términos de vecindarios?

Question

Una manera de definir una topología para un conjunto ("puntos") X es dar una definición adecuada de un barrio de $x$, para cualquier punto de $x \in X$, y, a continuación, definir un conjunto abierto como cualquier subconjunto de a $X$ que es un barrio de todos sus elementos. Una topología de $X$ se define como la familia de todos los subconjuntos de a $X$.

Me gustaría saber quien propuso por primera vez este particular enfoque para la definición de una topología.

(Tenga en cuenta que otro enfoque se define en primer lugar abrir sets, y luego define los barrios en el plazo de bloques abiertos. Sin embargo, otro enfoque lleva a la clausura de un conjunto como la definición fundamental. Etc.)

EDIT: La motivación detrás de esta pregunta se puede encontrar en esta otra pregunta. En esa pregunta que me dé una interpretación literal de un conjunto de axiomas para definir los barrios y, a continuación, la definición de abrir establece en términos de los barrios. Sostengo que estos axiomas, como se ha dicho, son defectuosos. Más tarde (en mi respuesta a la pregunta) me muestran lo que creo que es la génesis del error. El problema radica en la sutil diferencia entre las dos siguientes versiones alternativas de uno de los axiomas:

(B$3$) para cada una de las $x$, el conjunto de los barrios de $x$ es cerrado bajo la no-infinito intersecciones;

(B$3^{\prime}$) si $U_1, \dots, U_n$ son barrios de $x$, $U_1 \cap \dots \cap U_n$ es un barrio de $x$;

(Por supuesto, uno normalmente se escribe finito en lugar de la torpe no infinito, pero he utilizado el último en (B$3$) para llevar a cabo el hecho de que el axioma se aplica a la intersección vacía así. IOW, el axioma implica que, para cada una de las $x \in X$, el conjunto total $X$ es un barrio de $x$.)

De hecho me he topado aún más enfático versiones de B$3^\prime$):

(B$3^{\prime\prime}$) si $U_1$ $U_2$ son barrios de $x$, $U_1 \cap U_2$ es un barrio de $x$;

El problema con (B$3^\prime$) y (B$3^{\prime\prime}$) es que no tienen en regla el caso en que algunas de $x \in X$ no tiene en todos los barrios, que a su vez implica que todo el espacio $X$ no está abierto.

Mi interés en esta cuestión es que he encontrado al menos tres menciones en la literatura de la defectuosa conjunto de axiomas, uno tan recientes como el de 1997. Parece que este es un caso de un error que ha sido propagado por décadas, y estoy curioso acerca de su origen. De hecho, no es difícil imaginar una secuencia de rewordings $\text{B}3 \to \text{B}3^\prime \to \text{B}3^{\prime\prime}$.

Answer 1

Felix Hausdorff 1914 escribió en su libro "Grundzüge der Mengenlehre":

(A) Jedem Punkt entspricht mindestens eine Umgebung $U_x$; jede Umgebung $U_x$ enthält den Punkt $x$.
(B) Sind $U_x$, $V_x$ zwei Umgebungen desselben Punktes $x$, por lo que gibt es eine Umgebung $W_x$, morir Teilmenge von beiden ist ($W_x \subseteqq \mathfrak D(U_x, V_x)$).
(C) Liegt der Punkt $y$$U_x$, por lo que gibt es eine Umgebung $U_y$, morir Teilmenge von $U_x$ ist ($U_y \subseteqq U_x$).
(D) Für zwei diversas Punkte $x,y$ gibt es zwei Umgebungen $U_x, U_y$ ohne gemeinsamen Punkt ($\mathfrak D(U_x, U_y) = 0$).

Mi traducción:

(A) Cada punto tiene al menos un barrio de $U_x$; en cada barrio $U_x$ contiene $x$.
(B) Si $U_x$, $V_x$ son dos barrios de el mismo punto de $x$, entonces existe una vecindad $W_x$, que es un subconjunto de ambos ($W_x \subseteqq \mathfrak D(U_x, V_x)$).
(C) Si $y$ es un punto de $U_x$, entonces existe una vecindad $U_y$, que es un subconjunto de $U_x$ ($U_y \subseteqq U_x$).
(D) Cada uno de los dos diferentes puntos de $x,y$ han barrios $U_x$, $U_y$ que no tienen un punto común ($\mathfrak D(U_x, U_y) = 0$).

Que yo sepa esta es una de las primeras definiciones del concepto "espacio topológico" (para ser exactos, de un espacio de Hausdorff debido a axioma (D)) y la primera que utiliza barrios (nota: $\mathfrak D$ denota la intersección en el presente, que es la primera letra de la alemana "Durchschnitt").