Pruebalo $\sum_{d|n} \mu(d)\sigma(d) = (-1)^{k} \prod_{i=1}^{k} p_i$

Question

En mis notas:$$\sum_{d|n} \mu(d)\sigma(d) = (-1)^{k} \prod_{i=1}^{k} p_i$ $

Donde$\mu(d)$ es la función Möbius y$\sigma(d)$ es la suma de todos los divisores positivos de$d$.

Y no tengo ni idea de cómo obtuvieron la expresión en el lado derecho. ¿Podría alguien ayudarme a explicar cómo funciona esto?

Gracias,

Answer 1

Advertencia: Esto puede no ser la manera más directa de hacerlo.

Escribir $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ $p_i$ pares distintos de los números primos. Dado que la función de Moebius es cero en cualquier no-cuadrado-libre entero, los únicos divisores son aquellos que son productos de algunos pares distintos $p_i$.

Desde $$\sigma(p_{i_1}\cdots p_{i_r}) = \prod_{j=1}^r \sigma(p_{i_j}) = \prod_{j=1}^{r}(1+p_{i_j}),$$ entonces la suma en el lado izquierdo es la suma de estos productos, con un signo menos si el número de factores es impar, y un signo más si el número de factores es aún.

Deje $x_i = 1 + p_i$. Deje $S_r(x_1,\ldots,x_k)$ $r$th primaria simétrica polinomio en $x_1,\ldots,x_r$; es decir, \begin{align*} S_0(x_1,\ldots,x_k) &= 1,\\ S_1(x_1,\ldots,x_k) &= x_1+\cdots + x_k,\\ S_2(x_1,\ldots,x_k) &= x_1x_2 + \cdots + x_1x_k + x_2x_3+\cdots + x_{k-1}x_k,\\ &\vdots\\ S_k(x_1,\ldots,x_k) &= x_1\cdots x_k. \end{align*}

Por lo tanto: $$\sum_{d|n}\mu(d)\sigma(d) = \sum_{r=0}^k (-1)^rS_r(x_1,\ldots,x_k).$$

Ahora consideremos el polinomio $(t-x_1)\cdots(t-x_k)$. El coeficiente de $t^i$ es, precisamente,$(-1)^{k-i}S_{k-i}(x_1,\ldots,x_k)$. Por lo tanto, la suma en el lado derecho es este polinomio evaluado en $t=1$. Por lo tanto, $$\sum_{d|n}\mu(d)\sigma(d) = \sum_{r=0}^k(-1)^rS_r(x_1,\ldots,x_k) = (1-x_1)\cdots(1-x_k) = \prod_{i=1}^k(1-x_i).$$ Pero $1-x_i = 1-(1+p_i) = -p_i$. Por lo tanto, $$\sum_{d|n}\mu(d)\sigma(d) = \prod_{i=1}^k(-p_i) = (-1)^k\prod_{i=1}^kp_i,$$ como se reivindica.

Answer 2

Sugerencia: la función de Möbius es solamente diferente de cero en números cuadrados ( vea aquí ), y es$+1$ o$-1$ dependiendo del número de factores. Luego considere: ¿Qué aspecto tienen los divisores sin cuadrados de$n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$? ¿Qué significa$\sigma$ (la suma de divisores) de un número cuadrado?