¿La monotonicidad y la derivabilidad de una función$f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ implican bijectiveness?

Question

Tengo que demostrar que $f \colon x \mapsto e^{4x} + x^5 + 2$ ($f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$) es bijective. El argumento en el que la solución es que, dado que los dos primeros sumandos de la imagen es un bijective función de $x$, entonces también lo es $f$. Sin embargo, esta "prueba" no parece del todo riguroso para mí, ya que hay muchos contraejemplos a este argumento.

Así que he demostrado que los $f$ es estrictamente creciente mirando sus derivados, por lo tanto inyectiva, y que todos los $c \in \mathbb{R}$ tiene al menos una preimagen, aplicando el teorema de Bolzano a $f(x) - c$ y la evaluación de su límite en$-\infty$$+\infty$, y así, demostrando $f$ a ser surjective. En consecuencia, $f$ es bijective.

Estoy mucho más contento con esto una prueba de que la dada en las soluciones, pero quiero saber si me he perdido algo, o si mi hipótesis son insuficientes. Me dio un ejemplo para ilustrar mi argumento, pero la pregunta que quiero preguntar en la forma general es en el título. También, me gustaría saber si el converso tiene así.

Gracias.

Actualización: he estado pensando sobre esto, y se dio cuenta de que sólo monotonía y la continuidad (junto con el ilimitado, como Mariano señalado) son necesarios para bijectiveness, y derivability sólo ayuda a demostrar la monotonía. Es esto correcto?

Answer 1

Una función de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que es estrictamente monótona, es decir, o (para todos $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$, $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$) o (para todos $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$, $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$) -- es necesariamente inyectiva. Este es inmediata a partir de la definición, y no la continuidad o la diferenciabilidad es necesario para esto.

Pero, ¿qué acerca de bijectivity? Permítanme asumir WLOG que $f$ es estrictamente creciente. A continuación, una condición necesaria para bijectivity es que $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \pm \infty$. (Esto no es absolutamente inmediata, pero espero y creo que se pondrá de manifiesto después de sólo un poco de pensamiento.) Para uso en el futuro, vamos a llamar a esto el infinito los límites de la propiedad.

Esta observación puede ser utilizada para ver que la respuesta a su pregunta del título es no: como Mariano dice, considere la función arcotangente.

Por otra parte, es estrictamente creciente y tener el infinito los límites de la propiedad no es suficiente para garantizar surjectivity: consideremos por ejemplo la función definida a trozos como $x$ $x \leq 0$ y $x+1$$x > 0$. Este ejemplo parece indicar que estamos perdiendo la condición de continuidad.

La proposición: Vamos a $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser estrictamente creciente y tienen el infinito los límites de la propiedad. Los siguientes son equivalentes:
(i) $f$ es continua.
(ii) $f$ es surjective.

Dado que la palabra "deberes" está siendo tirado por ahí, os dejo la prueba de la OP. (De todos modos, es un divertido y no tan difícil el ejercicio.)

Como el OP dice, la diferenciabilidad no es parte de la imagen fundamental aquí, pero en la práctica, debido a que tener estrictamente positivo derivado en un intervalo asegura que una función es estrictamente creciente.