La suma de un número finito de números racionales es, por supuesto, un número racional, pero la suma de un número infinito de números racionales podría ser un número irracional. ¿Alguien podría darme alguna intuición de por qué esta suma podría ser irracional? Simplemente no lo siento.
El problema es psicológico: piensas en la "suma infinita" de números racionales como un concepto obvio e intuitivo, pero no lo es. Tiene un significado matemático preciso, y ese significado matemático preciso solo funciona si permites que las sumas sean números reales (que a su vez tienen un significado matemático preciso). Las definiciones que permiten que estas "sumas infinitas" tengan sentido son mucho menos triviales de lo que alguien que nunca las haya trabajado pensaría.
Querida, estoy pensando en ello porque también soy estudiante de Matemáticas.
Sabemos que $e$ es un número irracional.
El valor de $e$ es
$$= 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$$
$$= 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \ldots$$
$$= 2.7182 \ldots$$ (Número irracional)
Así que la suma de números racionales infinitos puede ser irracional.
Cualquier número irracional $x$ es el límite de una secuencia de números racionales $a_n$ (toma por ejemplo la expansión decimal truncada después de $n$ decimales, para $n=1,2,3,\dots$). Luego $$x = a_1 + (a_2-a_1) + (a_3-a_2) + \dots$$ es una suma de números racionales, pero es irracional por construcción.
Un número irracional es un "hueco" dentro de los racionales. La expansión decimal de cualquier número irracional es una suma infinita que converge a él. Proporciona aproximaciones cada vez mejores al número irracional, que desafortunadamente simplemente no está "ahí".
Hay muchos más ejemplos de tales construcciones limitantes. A veces obtienes nuevos objetos y a veces no. Un ejemplo es la función delta que puede aproximarse utilizando funciones legítimas. Por lo tanto, hay funciones arbitrariamente "cercanas" (en cierto sentido) a la función delta, pero la misma función delta es simplemente "demasiado buena" para ser una función real.
Como nota al margen, si estas aproximaciones son lo suficientemente buenas, puedes demostrar que el número es trascendental (teorema de Legendre o de Roth).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
Como observa Hans a continuación, cualquier número real es una suma infinita de racionales, por lo que si tienes alguna intuición sobre por qué existen números reales irracionales, ahí lo tienes. Me gustaría añadir: está bien no tener intuiciones sobre sumas infinitas. (Incluso puede ser contraproducente tener expectativas sobre lo que las sumas infinitas deberían hacer, o no deberían hacer, hasta que tengas una gran experiencia con ellas). Muchas cosas sobre sumas infinitas no pueden ser "sentidas" al principio; solo aprendidas. Si "no lo sientes", eso incluso podría ser una señal de que lo entiendes mejor que alguien que sí lo hace :)
0 votos
Ahora lo siento definitivamente. Para ser sincero, leí que la suma de números racionales podría ser irracional ayer (no lo había pensado antes). El ejemplo que encontré fue que $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{F_{i}}$, donde F significa número fibonacci, es irracional. A partir de este ejemplo, no estaba claro para mí por qué es cierto, pero el ejemplo 'decimal' que escribió Trevor es convincente.
0 votos
Pero aún hay algunas cosas sobre números racionales e irracionales que no son tan obvias. Por ejemplo: Hay un número racional entre cada dos números irracionales, ¿cómo es posible entonces que haya 'tantos más' números irracionales que racionales?
0 votos
De hecho, un número irracional o un número real se define como el límite de una secuencia de números racionales.