Estoy leyendo algunos libros de texto de mecánica cuántica elemental y algunos autores mencionan que "existen funciones patológicas que son cuadradas-integrables pero que no llegan a cero en el infinito". ( Griffiths )
Tengo problemas para encontrar uno, ¿alguien tiene un ejemplo?
El único que se me ocurre es el distribución de dirac (que ni siquiera es una función...): 
Considera la función: $$ x^2\exp(−x^8 \sin^2 x) $$
Lo encontré en este artículo: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069 . Más concretamente en la página 7.
He limpiado el $\LaTeX$ y se ha corregido una errata en la definición de la función ( $\sin^2 x$ se copió incorrectamente como $\sin(2x)$ , lo que resulta en una función que no es $L^2$ .)
Como David y proximal han señalado en los comentarios, hay muchas funciones cuadradas-integrables que no van a $0$ en el límite, incluso las continuas. Sin embargo, tenemos lo siguiente:
Supongamos que $f : \mathbf R \to \mathbf R$ es uniformemente continua, y $f\in L^p$ para algunos $p\geq 1$ . Entonces $|f(x)|\to 0$ como $|x| \to \infty$ .
En la línea del comentario de David Mitra, intente $$f = \sum_{n=1}^\infty 1_{[n, n + 2^{-n}]}.$$ Eso es, $f(x) = 1$ si $x$ está en uno de los intervalos $[1,1+1/2], [2, 2+1/4], [3, 3+1/8], \dots$ y $f(x) = 0$ por lo demás. Claramente $f(x)$ no se aproxima a 0 ya que $x \to \infty$ ya que para cualquier $N$ hay $x \ge N$ con $f(x) = 1$ y otros $x \ge N$ con $f(x) = 0$ . Pero por otro lado, es fácil calcular que $\int f^2 = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} = 1$ .
Con un poco más de trabajo se puede hacer que esta función sea continua, o incluso $C^\infty$ .
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Como la integración ignora las discontinuidades puntuales, la función $f(x)=1$ para $x$ entero y $f(x)=0$ para todos los demás $x$ ofrece un ejemplo sencillo.
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Este post parece algo relacionado. physicsforums.com/showthread.php?p=1781128
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Los hay que son continuos, incluso. Sea $f$ tienen un gráfico que consiste en un número infinito de picos ("centrados" en los enteros, digamos) de altura $1$ de manera que la anchura de los picos sea lo suficientemente pequeña como para que $f$ está en $L_2$ .
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¿Por qué la gente considera estos ejemplos "patológicos"?