Curvatura de Ricci a lo largo del campo del vector de la matanza

Question

Si$V$ es un campo Matriz de vector, necesito probar que

ps

Donde$$V^{m}\nabla_{m}R = 0$ es el escalar de Ricci$R$. Estoy teniendo algunos problemas con esto, ya mostré que$R = g^{mn}R_{mn}$ $

Answer 1

Campos de muerte generar isometrías y el escalar de curvatura es isometría-invariante, por lo que moverse a lo largo de un campo de muerte no cambia la curvatura.

Más precisamente: desde el escalar de curvatura es sólo una función, la derivada covariante $V^m \nabla_m R$ es igual a la Mentira derivado $$\mathcal L_V R = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(R\circ \Phi^V_t)$$ donde $\Phi^V$ es el flujo de $V$. Puesto que la curvatura es isometría-invariante, tenemos $R\circ \Phi^V_t=R$, por lo que la derivada es cero.

Si usted está buscando un computacional respuesta, creo que el dos veces contratados por la segunda identidad de Bianchi $V^m \nabla_m R = V^i \nabla^j R_{ij}$ debería ser un buen punto de partida. De un rápido intente no pude ver cómo hacer pop, pero todo lo que usted necesita son las simetrías del tensor de curvatura y de la definición de la ecuación de campos de Matanza.