¿Puede el conmutador de dos grupos fundamentales ser un grupo fundamental?

Question

Digamos que tengo dos grupos fundamentales de espacios agradables. Existe un mapa natrual desde el producto libre hasta el producto directo de estos grupos.

ps

Esto se puede considerar geométricamente como$$\varphi:\pi_1(X)*\pi_1(Y)\to \pi_1(X)\times\pi_1(Y)$. El núcleo de este homomorfismo es$\pi_1(X\lor Y)\to\pi_1(X\times Y)$.

¿Existe alguna manera geométrica de pensar acerca de este conmutador? Espero que sea$\ker\varphi=[\pi_1(X),\pi_1(Y)]$ de alguna construcción de los espacios$\pi_1$ y$X$.

Answer 1

Deje $G=\pi_1(X,x_0)$$H=\pi_1(Y,y_0)$. Desde $[\pi_1(X),\pi_1(Y)]$ es un subgrupo de $\pi_1(X) * \pi_1(Y)$, es el grupo fundamental de un cierto cubierta $Z$$X\lor Y$, con el cociente $\pi_1(X)\times \pi_1(Y)$ actuando en $Z$ por la Cubierta de transformaciones.

Podemos describir a $Z$ como sigue. Deje $p\colon \bigl(\tilde{X},\tilde{x_0}\bigr)\to (X,x_0)$ $q\colon\bigl(\tilde{Y},\tilde{y_0}\bigr)\to(Y,y_0)$ ser universal cubre $X$$Y$, respectivamente. A continuación, $Z$ es el siguiente subespacio de $\tilde{X}\times\tilde{Y}$: $$ \bigl(\tilde{X}\times p^{-1}(y_0)\bigr) \cup \bigl(p^{-1}(x_0) \times \tilde{Y}\bigr). $$ Tenga en cuenta que $\pi_1(X)\times \pi_1(Y)$ actúa en $\tilde{X}\times\tilde{Y}$ de las componentes por la Cubierta de transformaciones, y $Z$ es invariante bajo esta acción. No es difícil ver que el cociente de $Z$ esta acción es homeomórficos a $X\lor Y$, lo que demuestra que es la portada que se desea.

Por ejemplo, si $X$ $Y$ son los círculos, a continuación,$\tilde{X}=\tilde{Y}=\mathbb{R}$$p^{-1}(x_0) = q^{-1}(y_0) = \mathbb{Z}$, por lo que $$ Z \,=\, (\mathbb{R}\times \mathbb{Z}) \cup (\mathbb{Z} \times \mathbb{R}). $$ Es decir, $Z$ es el estándar de la "rejilla" en el avión. Tenga en cuenta que $Z$ cubre $S^1\lor S^1$ en una manera clara, con líneas horizontales de asignación para el primer círculo y las líneas verticales de mapeo para el segundo círculo.

Answer 2

Esto es lo que me viene a la mente, pero no aborda exactamente tu pregunta. Si$\pi_2 X = \pi_2 Y = 0$, entonces puede tomar$F$ como la fibra de homotopía del mapa$X \vee Y \to X \times Y$. La idea es que las "secuencias exactas cortas" en los espacios se llevan generalmente a "secuencias exactas largas" en el álgebra.