Hay muchos problemas en el análisis funcional que se pueden mencionar. Por ejemplo,
- El problema de la aproximación . ¿Se puede aproximar todo operador compacto mediante operadores de rango finito? La respuesta es no en espacios generales de Banach y sí en los espacios de Hilbert. (Enflo, 1973)
- Conjetura de Kato . ¿Son analíticas las raíces cuadradas de cierta clase de operadores elípticos? La respuesta se dio en 2002 y se puede comparar este artículo .
- Existencia y unicidad de la solución de la ecuación de Schroedinger . ¿Admite la ecuación de Schroedinger una solución cuando hay un potencial? ¿Y es dicha solución única? La respuesta es sí para una gran clase de potenciales, debido al teorema de Phillips-Lumer. (1961) Sin embargo, este es un ejemplo especialmente significativo de un problema más general.
- Existencia de complementarios topológicos de conjuntos cerrados en espacios de Banach . Cuando todo subconjunto cerrado de un Banach de dimensión infinita $X$ ¿el espacio tiene complemento topológico? Cuando $X$ es Hilbert, gracias al teorema de Lindenstrauss-Tzrafiri. (1970)
- Cuando la convergencia absoluta es equivalente a la convergencia incondicional ? La respuesta la proporciona el teorema de Dvrorestky-Rogers (1953) y es: cuando estamos en un espacio de Banach de dimensión finita.
- Autoadhesión de los hamiltonianos en la mecánica cuántica . ¿Son los operadores hamiltonianos típicos de la mecánica cuántica autoadjuntos? El teorema de Kato-Rellich asegura que lo son, incluso para una cierta clase de potenciales singulares (como los coulombianos). (1951)
Un problema nunca cerrado (hasta ahora) es el de Ecuaciones de Navier-Stokes en el enunciado preciso del Problema del 6º Milenio. El Problema del 5º Milenio, relativo a las teorías de Yang-Mills, probablemente estaría estrictamente relacionado con el análisis funcional en su solución. Además, recuerdo que mi profesor dijo que Perelman demostró Conjetura de Poincaré (más exactamente, La conjetura de geometrización de Thurston ) utilizando métodos de análisis funcional (2001-2002).
Obviamente, dicha lista es subjetiva, en el sentido de que esos problemas son los que me han impresionado hasta ahora y seguramente está incompleta. Además, reflejan mi propia formación. Debo señalar que no sé realmente cómo eran de populares todos esos problemas en el momento en que se abrieron, y que algunos de ellos son bastante específicos, pero creo que deben ser mencionados al menos en vista de la importancia de sus aplicaciones.
Añadido. Para la tercera parte, diría:
- Álgebras de operadores ( $C^*$ -algebras, álgebras de von Neumann, álgebras de Banach);
- Análisis funcional no lineal;
- Geometría en espacios de Banachs (desarrollada especialmente a partir de los años 70 por la escuela de Isreaeli);
- Los manifiestos de Hilbert (este tema también se desarrolló a partir de los años 70, por lo que sé).
