Bajo qué condiciones el cociente del espacio de un colector el colector?

Question

Hay muchas operaciones que podemos hacer con los espacios topológicos que cuando los aplicamos a topológico colectores nos da la espalda topológica de los colectores. La inconexión de la unión y el producto son ejemplos de eso.

Otra operación común es tomar el cociente por algunos de equivalencia de la relación. Ahora, la definición de colector estoy acostumbrado a es la siguiente: topológico, el colector es un espacio topológico $M$ tal que $M$ es Hausdorff, tiene un enumerable de base para la topología y localmente euclídeo de dimensión $n$.

Ahora, sabemos que el cociente de un espacio de Hausdorff no es necesariamente Hausdorff. Así, bajo qué condiciones, si tenemos un colector $M$ y una relación de equivalencia $\sim$ $M$ el cociente del espacio de $M/\sim$ será un colector?

Answer 1

Como estoy seguro que usted sabe, la categoría de lisa (topológico?) los colectores es una de las categorías donde los objetos están muy bien, pero la categoría en sí es terrible. No puedo describir la cantidad de veces que he escuchado el algebraicas geómetras maldición de la suave categoría.

No estoy seguro de que esta es una clasificación total, pero a Partir Lee la Introducción a la Suave Colectores, Teorema 9.19:

Si $\tilde M$ está conectado a un suave colector y $\Gamma$ es un grupo discreto de actuar sin problemas, libremente, y correctamente en $\tilde M$, entonces el cociente $\tilde M/\Gamma$ es topológico, colector y tiene un único suave estructura tal que $\pi: \tilde M \to \tilde M/\Gamma$ es un buen cubrimiento del mapa.

El colector de parte de este proviene del Cociente Colector Teorema:

Si $G$ es una Mentira grupo funciona sin problemas, libremente, y correctamente en un suave colector $M$, entonces el cociente del espacio de $M/G$ es topológico, colector con un único suave estructura tal que el cociente mapa de $M \to M/G$ es un buen inmersión.

Y, a continuación, aplicando esto a la (cero-dimensional) se encuentran el grupo de la cubierta de transformaciones.

Edit: La prueba de la propiedad de Hausdorff es muy similar a la de @useruser43208 la respuesta, y utiliza el propio de la acción. Tomar la órbita conjunto $$ \mathcal O = \{ (g\cdot p,p): g \in G, p \in M \} \subseteq M \times M$$ que es cerrado bajo el propio asunción. Cualquiera de los dos puntos distintos $\pi(p)$ $\pi(q)$ en la imagen del cociente mapa de $\pi: M \to M/G$ debe haber surgido de distintas órbitas, por lo $(p,q) \notin \mathcal O$. Por lo tanto podemos encontrar un producto de vecindad $U_p\times U_q \subseteq M \times M$ $(p,q)$ disjunta de a $\mathcal O$, por lo tanto $\pi(U_p)$ $\pi(U_q)$ están separando abrir barrios (desde $\pi$ es abierto).

Answer 2

Mi memoria es que Bourbaki tiene un teorema que dice: si $E \subseteq M \times M$ es una relación de equivalencia tal que

• $E$ es un cerrado submanifold de $M \times M$, y

• La primera proyección de $\pi_1: E \to M$ es una inmersión,

a continuación, el cociente del espacio de $M/E$ hereda de $M$ un suave colector de la estructura. Todavía tratando de rastrear la referencia exacta.

Answer 3

Hay mucho en este problema ya conocido. El estudio de la Hausdorff (generalmente metrizable) espacios recibido de tomar los cocientes de los colectores se llama descomposición del espacio de teoría y tiene una historia maravillosa.

Un caso especial de esto que se ha reunido una gran cantidad de atención es cuando es el cociente de un colector $M$ homeomórficos a $M$. Bing en la década de 1950 y 1960 casos estudiados de este problema ampliamente y mostró una cierta cociente de $S^3$ es realmente homeomórficos a $S^3$ y se utiliza dicha descomposición para la construcción de involuciones de $S^3$ no conjugado a cualquier lisos. Brown demostró la generalizada Schoenflies teorema usando técnicas similares. En los años 80 Freedman utilizado esta teoría para demostrar a 4-dimensional de la conjetura de Poincaré.

En su caso, si el cociente mapa sólo tiene un trivial establecer $K$ se identificó a un punto y $K$ es compacto, entonces el cociente del espacio es homeomórficos a un colector si y sólo si $K$ es un countably infinito intersección de anidado cerrado bolas ($K$ es celular de acuerdo a la literatura). Tal caracterización también funciona a la perfección si hay sólo un número finito no trivial conjuntos identificado a un punto.

Si hay infinitamente muchos de estos conjuntos, las cosas se vuelven más complicadas. Al darse cuenta de cuando una "generalizada colector" es un colector a mi conocimiento no es completamente entendida, a pesar de que hay un montón de resultados parciales.

Daverman da una buena cuenta de la mayor parte de esta historia en su libro aquí , incluyendo algunos de los mencionados resultados parciales cerca de la final.