¿Cómo puedo encontrar todas las funciones analíticas$ f = u + iv $ with$ u(x,y) = x^{2} - y^{2} $

Question

Esta tarea problema me está dando algunos problemas. Mi actual proceso de pensamiento es este:

En orden para $ f = u + iv $ a ser analítico, debe diferenciable. Por lo tanto, debe satisfacer la de Cauchy-Riemann ecuación, $ f_{y} = if_{x} $ , e $ f_{x} \text{ and } f_{y} $ debe ser continua. El Cauchy-Riemann ecuación es equivalente a:

$$ u_{x} = v_{y},\\ u_{y} = -v_{x} $$

Debido a que la función debe ser analítico, que debe ser derivable en el abierto de los barrios de $ z = x + iy $ así como en z. Debido a este hecho, he intentado hacer esto:

$$ u_{x} = v_{y} \implica v_{y} = 2x \implica que v = 2xy + h(x)\\ u_{y} = -v_{x} \implica v_{x} = 2y \implica que v = 2xy + g(y) $$

Estas dos líneas implica que $ h(x) = g(y) = constant $, lo $ v = 2xy + c $. Por lo tanto, las funciones de la forma $ f = x^{2} - y^{2} + i(2xy + c) $ debe ser analítico. Tengo dos problemas. El primer problema es que no estoy seguro de que mi derivación de v es el sonido de las matemáticas. En segundo lugar, incluso si la ecuación que se derivan de la analítica, ¿cómo puede ser cierto sólo las ecuaciones de esta forma analítica? Gracias por la ayuda. Se los agradezco.

Answer 1

Todos los conjugados armónicos son todos iguales hasta una constante. (Véase el comentario de @ Julien de por qué) por lo que sólo tenemos que encontrar un único conjugado. He aquí una manera de hacer esta pregunta sin ecuaciones CR

ps

Esto significa que es la parte real de una función analítica$$u(x,y) = x^2 - y^2 = Re(z^2)$. Directamente podemos decir que$z^2 + ci$ es la parte imaginaria de$v$ y así$z^2 + ci$ $

Answer 2

Comenzó con las ecuaciones CR (que cualquier función analítica debe satisfacer) y dedujo $v=2xy + c$. Por lo tanto, ha demostrado que si$u=x^2-y^2$ sólo funciona con$v=2xy+c$ puede ser analítico. Así que ya está. (Notar que$x^2-y^2+i2xy = z^2$, o decir algo acerca de las funciones analíticas de valor real que es constante, es elegante, pero esencialmente sólo el estilo).