Número de ceros de la solución a $y''(x)+e^{x^2}y(x)=0$ en $[0,3π]$

Question

La cuestión es investigar el número de ceros de $y''(x)+e^{x^2}y(x)=0$ en $[0,3π]$ .

Resolver esta EDO no sería una tarea fácil ya que hay que utilizar la solución de la serie de potencias y luego investigar los ceros de la solución requerirá más análisis. Se me ocurrió comparar esta EDO con la estándar $y''(x)+y(x)=0$ cuya solución tiene tres o cuatro ceros en el intervalo $[0,3π]$ .

Dado que el coeficiente de $y(x)$ es $e^{x^2}\ge 1$ para $x\in [0,3π]$ por lo que la solución de la EDO dada debe tener al menos tres ceros en $[0,3π]$ . Sin embargo, lo que pensé fue en las luces del teorema de Sturm-Comparación por lo que no estoy seguro.

¿Estoy en lo cierto al interpretar esto?

Answer 1

Para cualquier función $\eta: [0,3\pi] \to \mathbb{R}$ Consideremos las funciones de la forma $$y_\eta(x) = \Im \left[ \exp\left( -\eta(x) + i\int_0^x e^{2\eta(t)} dt + K\right)\right]$$ donde $K$ es una constante arbitraria. Es fácil comprobar $y_\eta(x)$ satisface una EDO

$$y_\eta''(x) + p_\eta(x)y_\eta(x) = 0 \quad\text{ where }\quad p_\eta(x) = e^{4\eta(x)} + \eta''(x) - \eta'(x)^2\tag{*1} $$

Cuando $\eta(x) = \frac{x^2}{4}$ esto se reduce a $$y_\eta''(x) + \left(e^{x^2} + \frac{2-x^2}{4}\right)y_\eta(x) = 0\tag{*2}$$

Compárelo con la EDO que nos ocupa

$$y''(x) + p(x)y(x) = 0 \quad\text{ where }\quad p(x) = e^{x^2}\tag{*3}$$

Parecen "aproximadamente" iguales. Más precisamente, la diferencia relativa entre los coeficientes de las dos ODE, $\frac{p_\eta(x) - p(x)}{p(x)} = \frac{2-x^2}{4}e^{-x^2}$ se convierten en algo tan pequeño como $x$ aumentos. Por ejemplo, en $x = 2$ Esta diferencia relativa ya está por debajo de $1\%$ . Esto sugiere que podemos utilizar soluciones de $(*2)$ para acotar el número de ceros de las soluciones de $(*3)$ .

Aviso $p(x) \ge p_\eta(x)$ para $x \in [\sqrt{2},3\pi]$ . Por Teorema de comparación de Sturm-Picone tenemos

$$\#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y(x) = 0\big\} \ge \#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y_\eta(x) = 0\big\} - 1$$

En general, si $x_1$ es un cero para $y_\eta(x)$ y $x_2 > x_1$ satisface $\int_{x_1}^{x_2} e^{2\eta(t)} dt = \pi$ entonces $x_2$ también es un cero.
Cuando fijamos $K$ a $-i\int_0^{\sqrt{2}}e^{t^2/2}dt$ , $\sqrt{2}$ se convierte en un cero de $y_\eta(x)$ . Para esta elección particular de $K$ ,

$$\begin{align} & \#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y_\eta(x) = 0\big\} = \left\lfloor \frac{1}{\pi}\int_{\sqrt{2}}^{3\pi} e^{t^2/2} dt\right\rfloor + 1\\ \implies & \#\big\{ x \in [0,3\pi] : y(x) = 0\big\} \ge \#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y(x) = 0\big\} \ge \left\lfloor \frac{1}{\pi}\int_{\sqrt{2}}^{3\pi} e^{t^2/2} dt\right\rfloor \end{align} $$ Junto con $\displaystyle\;\frac{1}{\pi}\int_0^{\sqrt{2}}e^{t^2/2}dt \approx 0.658425\;$ obtenemos un límite inferior para el número de ceros. $$\#\big\{ x \in [0,3\pi] : y(x) = 0\big\} - \frac{1}{\pi}\int_0^{3\pi}e^{t^2/2} dt > -1.66$$

Para obtener un límite superior, elegimos un nuevo $\tilde{\eta} = \frac14\log\left(e^{x^2} + \frac{x^2}{4}\right)$ . Con la ayuda de un CAS, se puede puede verificar la correspondiente $p_{\tilde{\eta}}(x) \ge p(x)$ para todos $x \in [0,3\pi]$ . Por el teorema de comparación de Sturm-Picone de nuevo, obtenemos

$$\#\big\{ x \in [0,3\pi] : y_{\tilde{\eta}}(x) = 0\big\} \ge \#\big\{ x \in [0,3\pi] : y(x) = 0\big\} - 1 $$ Eligiendo un $K$ podemos hacer $y_{\tilde{\eta}}$ satisfacer

$$ \#\big\{ x \in [0,3\pi] : y_{\tilde{\eta}}(x) = 0\big\} = \left\lfloor\frac{1}{\pi}\int_0^{3\pi} e^{2\tilde{\eta}(t)}dt\right\rfloor = \left\lfloor\frac{1}{\pi}\int_0^{3\pi} \sqrt{e^{t^2} + \frac{t^2}{4}} dt\right\rfloor $$ Desde $\displaystyle\;\sqrt{e^{t^2} + \frac{t^2}{4}} \le e^{t^2/2} + \frac{t^2}{8}e^{-t^2/2}\;$ Esto conduce a un límite superior para el número de ceros.

$$\#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y = 0\big\} -\frac{1}{\pi}\int_0^{3\pi} e^{t^2/2} dt \le 1 + \frac{1}{8\pi}\int_0^{3\pi} t^2 e^{-t^2/2} dt \approx 1.0498678 $$ Combinando estos, obtenemos una estimación del número de ceros de $y(x)$ en términos de una integral.

$$-1.66 < \#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y(x) = 0\big\} -\frac{1}{\pi}\int_0^{3\pi} e^{t^2/2} dt < 1.05$$

Según WA, la integral se evalúa en $$\frac{1}{\pi}\int_0^{3\pi} e^{t^2/2} dt \approx 663789642044913452.583222...$$ Como el número de ceros es siempre un número entero, podemos concluir $$ 663789642044913451 \le \#\big\{ x \in [\sqrt{2},3\pi] : y(x) = 0\big\} \le 663789642044913453 $$

Answer 2

_{(Movido de un <a href="https://math.stackexchange.com/questions/2148589">pregunta duplicada eliminada </a>, contestado el 18 Feb '17 a las 8:44, ya que contiene un enfoque más elemental)}

Ver el Teorema de comparación de Sturm-Picone que te dice que tienes al menos tantas raíces como $\cos x$ en $[0,3π]$ .

Se podría aplicar a los segmentos $[0,π]$ , $[π,2π]$ y $[2π,3π]$ por separado para obtener un mejor límite inferior para los números de las raíces, ya que luego se compara con $y''+e^{(k\pi)^2}y=0$ , $k=0,1,2$ para que obtenga en los respectivos intervalos al menos tantas raíces como $\cos(e^{k^2\pi^2/2}x)$ donde las frecuencias tienen valores numéricos $1,\; 139.045636661,\; 373791533.224$ .

Con una subdivisión más fina se puede llevar este límite inferior hasta $6.5·10^{17}$ raíces dentro del intervalo.

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Detalles sobre la aplicación del teorema de comparación Sturm-Picone ( 2/21/17 ): En $[0,3\pi]$ utilice $q_1(x)=1$ y $q_2(x)=e^{x^2}$ . Entonces $q_1\le q_2$ y $p_1=1=p_2$ por lo que el teorema se aplica y cualquier solución $v$ de $v''+q_2v=0$ tiene al menos una raíz entre dos raíces consecutivas cualesquiera $x_k=k\pi$ , $k=0,1,2,3$ de la solución $u(x)=\sin x$ de $u'+q_1u=0$ . Las raíces de $\cos x$ tienen esta propiedad, por lo que se puede decir que $v$ tiene al menos tantas raíces como $\cos x$ en ese intervalo.