¿Cómo mostrar que$\sin(m) + \sin(\sin(m)) + \sin(\sin(\sin(m))) + \cdots$, converge para cada número real$m$?

Question

Estoy tratando de mostrar que la serie: $\sin(m) + \sin(\sin(m)) + \sin(\sin(\sin(m)) + \cdots$ converge para todos los números reales $m$. Para ser más específicos, la serie se define como sigue:

$\sum_1^\infty{a_k}$ donde$a_{k+1}=\sin(a_k)$$k=1, 2, \ldots$$a_1=\sin(m)$.

He llegado a la conclusión de que los términos en la serie tienden a $0$$k\rightarrow\infty$. También probé con la aplicación de la prueba de razón de:

$\dfrac{|a_k+1|}{|a_k|}=\dfrac{|\sin(\sin\cdots(\sin(m))|}{|\sin(\sin(\cdots(m)|} =\dfrac{|\sin(a_k)|}{|a_k|}\rightarrow1$ $k\rightarrow\infty$ , pero desde el límite es de $1$, la prueba no es concluyente. No sé un montón de cosas sobre la serie, pero lo que sé acerca de la raíz de la prueba, la integral de la prueba y de hacer comparaciones. No veo cómo puedo aplicar cualquiera de los métodos aquí.

Estaría muy agradecido por cualquier ayuda con este problema!

Answer 1

Heurística: Say$a_n$ está cerca de cero pero no cero, entonces$\sin(x)=x-\frac16x^3+o(x^3)$ cuando$x\to0$ % C ^ 2 = 3$$a_{n+1}=a_n-\frac16a_n^3+o(a_n^3).$ b = \ frac12$ If $ a_n \ sim \ alpha \ sqrt {\ alpha / n} .

Idea de la prueba completa: Cambie las variables y considere$, this imposes that $$ and $ b_n \ to \ infty$, hence the idea that $$ with $$ depending on $$$b_n=\frac1{a_n^2},$ .

Answer 2

Vamos a probar que $$\lim n \cdot a_n^2 \to 3$$ donde$a_{n+1} = \sin a_n$$a_0 = a \ne k \pi$.

Es fácil ver que $a_n \ne 0$ todos los $n$. ( la única raíz de $\sin x$ en el intervalo de $\sin (\mathbb{R}) = [-1,1]$$x=0$) por otra parte, desde la $|\sin x| \le |x|$ todos los $x \ne 0$ llegamos a la conclusión de que $(a_n)_{n \ge 1}$ es estrictamente decreciente y $>0$ si $a_1 \in (0,1]$ y estrictamente creciente y $<0$ si $a_1 \in [-1,0)$. Por lo tanto, la secuencia de $(a_n)$ es convergente. Deje $l$ ser el límite. Desde $x\mapsto \sin x$ es una función continua de $a_{n+1} = \sin a_n$ llegamos a la conclusión de $\sin l = l$ y, por tanto,$l = 0$.

Vamos a mostrar que el $n\cdot a_n^2 \to 3$ o, equivalentemente, $$\lim \frac{1/a_n^2}{n} =1/3$$ Vamos a probar una más fuerte(el uso de Stolz–Cesàro) $$\lim_{n\to \infty} (1/a^2_{n+1} - 1/a_n^2) = 1/3$$ Desde $a_n\to 0$ vamos a demostrar en su lugar $$\lim_{x->0} (1/\sin^2 x- 1/x^2) = 1/3$$

De hecho, tenemos la expansión $$ 1/\sin ^2 x =1/x^2 + 1/3 + x^2/15 + O(x^4)$$

y la instrucción está demostrado.

Es evidente que la velocidad de la convergencia de una secuencia de itera $f^n(a)$ a (a nivel local) único punto fijo $0$ $f(x)$ tiene que ver con la expansión de la $f(x)$$0$. Escribir: $$f(x) =x( 1 + c_s x^s + c_{s'}x^{s'}+ \ldots )$$ Entonces tenemos $$ \lim_{x\to 0} \frac{1}{f(x)^s} - \frac{1}{x^s} = -s \cdot c_s$$ Conclusión: Si $0$ es un aislado de punto fijo y $a_n \ne 0$ es una secuencia de itera la convergencia a la $0$ $$n\cdot a_n^s\to - s\cdot c_s$$

Observación: Si la expansión en $0$ es más general $c_0 x + \ldots $ $|c_0|<1$ cualquier secuencia de itera ha convergencia al menos exponencial mientras que para $|c_0|>1$ parece que $0$ no va a ser un atractivo punto fijo.